Infinidade

Entenda o matemático alemão David Hilbert

Entenda o paradoxo do grande hotel infinito do matemático alemão David Hilbert Saiba mais sobre o paradoxo do hotel infinito de David Hilbert. Open University (um parceiro editorial da Britannica) Veja todos os vídeos para este artigo

Infinidade , o conceito de algo que é ilimitado, sem fim, sem limites. O símbolo comum para o infinito, ∞, foi inventado pelo matemático inglês John Wallis em 1655. Três tipos principais de infinito podem ser distinguidos: o matemático, o físico e o metafísico . Infinidades matemáticas ocorrem, por exemplo, como o número de pontos em uma linha contínua ou como o tamanho da seqüência infinita de números de contagem: 1, 2, 3,…. Os conceitos espaciais e temporais de infinito ocorrem na física quando se pergunta se existem infinitas estrelas ou se o universo vai durar para sempre. Em uma discussão metafísica de Deus ou do Absoluto, há dúvidas se uma entidade última deve ser infinito e se coisas menores também poderiam ser infinitas.



Infinitos matemáticos

Os antigos gregos expressavam o infinito pela palavra Apeiron , que tinha conotações de ser ilimitado, indefinido, indefinido e sem forma. Uma das primeiras aparições do infinito em matemática diz respeito à relação entre a diagonal e o lado de um quadrado. Pitágoras (c. 580-500bce) e seus seguidores inicialmente acreditaram que qualquer aspecto do mundo poderia ser expresso por um arranjo envolvendo apenas os números inteiros (0, 1, 2, 3, ...), mas eles ficaram surpresos ao descobrir que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis ​​- isto é, seus comprimentos não podem ser expressos como múltiplos de número inteiro de qualquer unidade compartilhada (ou medida). Na matemática moderna, esta descoberta é expressa dizendo que a proporção é irracional e que é o limite de uma série decimal infinita e não repetida. No caso de um quadrado com lados de comprimento 1, a diagonal éRaiz quadrada dedois, escrito como 1,414213562…, onde as reticências (…) indicam uma sequência infinita de dígitos sem padrão.



Ambos Prato (428 / 427-348 / 347bce) e Aristóteles (384-322bce) compartilhavam a aversão grega geral à noção de infinito. Aristóteles influenciou o pensamento subsequente por mais de um milênio com sua rejeição do infinito real (espacial, temporal ou numérico), que ele distinguiu do infinito potencial de ser capaz de contar sem fim. Para evitar o uso do infinito real, Eudoxus de Cnidus (c. 400-350bce) e Arquimedes (c. 285-212 / 211bce) desenvolveram uma técnica, mais tarde conhecida como método da exaustão, em que uma área era calculada dividindo-se a unidade de medida pela metade em estágios sucessivos até que a área remanescente ficasse abaixo de um valor fixo (tendo a região restante sido exaurida).

A questão dos números infinitamente pequenos levou à descoberta do cálculo no final dos anos 1600 pelo matemático inglês Isaac Newton e o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz . Newton introduziu sua própria teoria de números infinitamente pequenos, ou infinitesimais, para justificar o cálculo de derivadas, ou inclinações. A fim de encontrar a inclinação (ou seja, a mudança em Y sobre a mudança em x ) para uma linha tocando uma curva em um determinado ponto ( x , Y ), ele achou útil observar a proporção entre d Y e d x , Onde d Y é uma mudança infinitesimal em Y produzido movendo uma quantidade infinitesimal d x a partir de x . Os infinitesimais foram fortemente criticados e muito da história inicial da análise girou em torno de esforços para encontrar uma base alternativa e rigorosa para o assunto. O uso de números infinitesimais finalmente ganhou uma base sólida com o desenvolvimento de análises não padronizadas pelo matemático alemão Abraham Robinson na década de 1960.



Entenda o uso de inteiros para contar o infinito

Entenda o uso de inteiros para contar o infinito Aprenda como os inteiros podem ser usados ​​para contar o infinito. MinutePhysics (um parceiro de publicação da Britannica) Veja todos os vídeos para este artigo

Um uso mais direto do infinito em matemática surge com esforços para comparar os tamanhos de conjuntos infinitos, como o conjunto de pontos em uma linha ( numeros reais ) ou o conjunto de números de contagem. Os matemáticos ficam rapidamente impressionados com o fato de que intuições sobre os números são enganosos quando se fala de tamanhos infinitos. Medieval os pensadores estavam cientes do fato paradoxal de que segmentos de linha de comprimentos variados pareciam ter o mesmo número de pontos. Por exemplo, desenhe dois círculos concêntricos, um com o dobro do raio (e, portanto, com o dobro da circunferência) do outro, como mostrado nofigura. Surpreendentemente, cada ponto P no círculo externo pode ser emparelhado com um ponto único P ′ No círculo interno, desenhando uma linha a partir de seu centro comum OU para P e rotulando sua intersecção com o círculo interno P ′. Intuição sugere que o círculo externo deve ter o dobro de pontos do círculo interno, mas, neste caso, o infinito parece ser o mesmo que duas vezes o infinito. No início de 1600, o cientista italiano Galileu Galiléia abordou isso e um resultado não intuitivo semelhante agora conhecido como Galileo paradoxo . Galileu demonstrou que o conjunto de números de contagem pode ser colocado em uma correspondência um a um com o conjunto aparentemente muito menor de seus quadrados. Ele mostrou da mesma forma que o conjunto de números de contagem e seus duplos (ou seja, o conjunto de números pares) poderiam ser emparelhados. Galileu concluiu que não podemos falar de quantidades infinitas como sendo maiores ou menores ou iguais a outras. Tais exemplos levaram o matemático alemão Richard Dedekind em 1872 a sugerir uma definição de um conjunto infinito como aquele que poderia ser colocado em uma relação um-para-um com algum subconjunto apropriado.

círculos concêntricos e infinito

círculos concêntricos e infinito Os círculos concêntricos demonstram que duas vezes o infinito é igual ao infinito. Encyclopædia Britannica, Inc.



A confusão sobre os números infinitos foi resolvida pelo matemático alemão Georg Cantor a partir de 1873. O Primeiro Cantor demonstrou rigorosamente que o conjunto de números racionais (frações) tem o mesmo tamanho que os números contados; portanto, eles são chamados de contáveis ​​ou enumeráveis. É claro que isso não foi um choque real, mas mais tarde naquele mesmo ano Cantor provou o resultado surpreendente de que nem todos os infinitos são iguais. Usando o chamado argumento diagonal, Cantor mostrou que o tamanho dos números contados é estritamente menor do que o tamanho dos números reais. Este resultado é conhecido como teorema de Cantor.

Para comparar conjuntos, Cantor primeiro distinguiu entre um conjunto específico e a noção abstrata de seu tamanho ou cardinalidade. Ao contrário de um conjunto finito, um conjunto infinito pode ter a mesma cardinalidade que um subconjunto próprio de si mesmo. Cantor usou um argumento diagonal para mostrar que a cardinalidade de qualquer conjunto deve ser menor que a cardinalidade de seu conjunto de potência, ou seja, o conjunto que contém todos os subconjuntos possíveis do conjunto determinado. Em geral, um conjunto com n elementos tem uma potência definida com 2 n elementos, e essas duas cardinalidades são diferentes, mesmo quando n é infinito. Cantor chamou os tamanhos de seus conjuntos infinitos de cardeais transfinitos. Seus argumentos mostraram que existem cardeais transfinitos de infinitamente muitos tamanhos diferentes (como os cardeais do conjunto de números contáveis ​​e do conjunto de números reais).

Os cardinais transfinitos incluem aleph-null (o tamanho do conjunto de números inteiros), aleph-um (o próximo infinito maior) e o continuum (o tamanho dos números reais). Esses três números também são escritos como ℵ0, ℵ1, e c , respectivamente. Por definição ℵ0é menor que ℵ1, e pelo teorema de Cantor ℵ1é menor ou igual a c . Junto com um princípio conhecido como o axioma da escolha, o método de prova do teorema de Cantor pode ser usado para garantir uma sequência infinita de cardinais transfinitos continuando após ℵ1para números como ℵdoise ℵUMA0.

O problema do contínuo é a questão de qual dos alephs é igual à cardinalidade do contínuo. Cantor conjecturou que c = ℵ1; isso é conhecido como hipótese do contínuo de Cantor (CH). CH também pode ser considerado como afirmando que qualquer conjunto de pontos na linha deve ser contável (de tamanho menor ou igual a ℵ0) ou deve ter um tamanho tão grande quanto todo o espaço (ser do tamanho c )

como Benito Juarez trouxe reformas ao México

No início dos anos 1900, foi desenvolvida uma teoria completa dos conjuntos infinitos. Essa teoria é conhecida como ZFC, que significa teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. CH é conhecido por ser indecidível com base nos axiomas em ZFC. Em 1940, o lógico nascido na Áustria Kurt Gödel foi capaz de mostrar que ZFC não pode provar CH, e em 1963 o matemático americano Paul Cohen mostrou que ZFC não pode provar CH. Os teóricos de conjuntos continuam a explorar maneiras de estender os axiomas ZFC de uma forma razoável para resolver CH. Trabalhos recentes sugerem que CH pode ser falso e que o verdadeiro tamanho de c pode ser o infinito maior ℵdois.

Idéias Frescas

Categoria

Outro

13-8

Cultura E Religião

Alquimista Cidade

Livros Gov-Civ-Guarda.pt

Gov-Civ-Guarda.pt Ao Vivo

Patrocinado Pela Fundação Charles Koch

Coronavírus

Ciência Surpreendente

Futuro Da Aprendizagem

Engrenagem

Mapas Estranhos

Patrocinadas

Patrocinado Pelo Institute For Humane Studies

Patrocinado Pela Intel The Nantucket Project

Patrocinado Pela Fundação John Templeton

Patrocinado Pela Kenzie Academy

Tecnologia E Inovação

Política E Atualidades

Mente E Cérebro

Notícias / Social

Patrocinado Pela Northwell Health

Parcerias

Sexo E Relacionamentos

Crescimento Pessoal

Podcasts Do Think Again

Patrocinado Por Sofia Gray

Vídeos

Patrocinado Por Sim. Cada Criança.

Geografia E Viagens

Filosofia E Religião

Entretenimento E Cultura Pop

Política, Lei E Governo

Ciência

Estilos De Vida E Questões Sociais

Tecnologia

Saúde E Medicina

Literatura

Artes Visuais

Lista

Desmistificado

História Do Mundo

Esportes E Recreação

Holofote

Companheiro

#wtfact

Recomendado