Kurt Gödel
Kurt Gödel , Gödel também soletrou Goedel , (nascido em 28 de abril de 1906, Brünn, Áustria-Hungria [agora Brno, Rep. Tcheca] - morreu em 14 de janeiro de 1978, Princeton, NJ, EUA), matemático austríaco, lógico e filósofo que obteve o que pode ser o resultado matemático mais importante do século 20: seu famoso teorema da incompletude, que afirma que dentro de qualquer sistema matemático axiomático existem proposições que não podem ser provadas ou refutadas com base nos axiomas dentro desse sistema; portanto, tal sistema não pode ser simultaneamente completo e consistente. Esta prova estabeleceu Gödel como um dos maiores lógicos desde Aristóteles , e os seus repercussões continue a ser sentido e debatido hoje.
Juventude e carreira
Gödel sofreu vários períodos de problemas de saúde quando criança, após uma crise aos 6 anos de idade com febre reumática, que o deixou com medo de ter algum problema cardíaco residual. Sua preocupação ao longo da vida com sua saúde pode ter contribuído para sua eventual paranóia, que incluía limpar obsessivamente seus talheres e se preocupar com a pureza de sua comida.
Como um austríaco de língua alemã, Gödel de repente se viu morando no recém-formado país de Checoslováquia quando o Império Austro-Húngaro foi desmembrado no final da Primeira Guerra Mundial em 1918. Seis anos depois, porém, foi estudar na Áustria, na Universidade de Viena, onde obteve seu doutorado em matemática em 1929. Ele ingressou no corpo docente da Universidade de Viena no ano seguinte.
Durante esse período, Viena foi uma das intelectual centros do mundo. Era o lar do famoso Círculo de Viena, um grupo de cientistas, matemáticos e filósofos que endossado a visão naturalista, fortemente empirista e antimetafísica conhecida como positivismo lógico. O orientador da dissertação de Gödel, Hans Hahn, foi um dos líderes do Círculo de Viena e apresentou seu aluno estrela ao grupo. No entanto, as próprias visões filosóficas de Gödel não poderiam ser mais diferentes daquelas dos positivistas. Ele subscreveu o platonismo, teísmo e dualismo mente-corpo . Além disso, ele também era um pouco instável mentalmente e sujeito à paranóia - um problema que piorava com a idade. Assim, seu contato com os membros do Círculo de Viena deixou-o com a sensação de que o século XX foi hostil às suas idéias.
Teoremas de Gödel
Em sua tese de doutorado, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls (Sobre a Completude do Cálculo da Lógica), publicada em uma forma ligeiramente abreviada em 1930, Gödel provou um dos resultados lógicos mais importantes do século - na verdade, de todos os tempos - a saber , o teorema da completude, que estabeleceu que a lógica clássica de primeira ordem, ou cálculo de predicados, é completo no sentido de que todas as verdades lógicas de primeira ordem podem ser provadas em sistemas de prova de primeira ordem padrão.
Isso, no entanto, não era nada comparado com o que Gödel publicou em 1931 - a saber, o teorema da incompletude: Über formal unentscheidbare Sätze der Princípios Matemáticos e sistemas relacionados (em proposições formalmente indecidíveis de Princípios Matemáticos e sistemas relacionados). Grosso modo, esse teorema estabeleceu o resultado de que é impossível usar o método axiomático para construir uma teoria matemática, em qualquer ramo da matemática, que envolva todas as verdades desse ramo da matemática. (Na Inglaterra, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell passou anos nesse programa, que publicou como Princípios Matemáticos em três volumes em 1910, 1912 e 1913.) Por exemplo, é impossível chegar a um axiomático teoria matemática que captura até mesmo todas as verdades sobre os números naturais (0, 1, 2, 3, ...). Esse foi um resultado negativo extremamente importante, pois antes de 1931 muitos matemáticos estavam tentando fazer exatamente isso - construir sistemas de axiomas que pudessem ser usados para provar todas as verdades matemáticas. Na verdade, vários lógicos e matemáticos bem conhecidos (por exemplo, Whitehead, Russell, Gottlob Frege,David Hilbert) passaram porções significativas de suas carreiras neste projeto. Infelizmente para eles, o teorema de Gödel destruiu todo este programa de pesquisa axiomática.
Estrelato internacional e mudança para os Estados Unidos
Após a publicação do teorema da incompletude, Gödel se tornou uma figura intelectual conhecida internacionalmente. Ele viajou para os Estados Unidos várias vezes e lecionou extensivamente em Universidade de Princeton dentro Nova Jersey , onde ele conheceu Albert Einstein . Este foi o início de uma amizade próxima que duraria até a morte de Einstein em 1955.
Gödel, Kurt; Schwinger, Julian; Einstein, Albert Albert Einstein (à esquerda) apresentando o primeiro Prêmio Albert Einstein por realizações em ciências naturais ao matemático austríaco Kurt Gödel (segundo da direita) e ao físico americano Julian Schwinger (à direita), com Lewis L. Strauss observando, 14 de março de 1951 . New York World-Telegram and the Sun Newspaper / Biblioteca do Congresso, Washington, DC (ID digital cph 3c33518)
No entanto, foi também durante este período que a saúde mental de Gödel começou a se deteriorar. Ele sofria de crises de depressão e, após o assassinato de Moritz Schlick, um dos líderes do Círculo de Viena, por um estudante perturbado, Gödel sofreu um colapso nervoso. Nos anos que se seguiram, ele sofreu vários outros.
Depois do nazista Alemanha anexou a Áustria em 12 de março de 1938, Gödel se viu em uma situação um tanto embaraçosa, em parte porque tinha uma longa história de relações íntimas com vários membros judeus do Círculo de Viena (na verdade, ele havia sido atacado nas ruas de Viena por jovens que pensava que era judeu) e em parte porque corria o risco de ser convocado para o exército alemão. Em 20 de setembro de 1938, Gödel se casou com Adele Nimbursky (nascida Porkert) e, quando a Segunda Guerra Mundial estourou um ano depois, ele fugiu da Europa com sua esposa, pegando a ferrovia transiberiana pela Ásia, navegando pelo Oceano Pacífico, e depois tomou outro trem pelos Estados Unidos para Princeton, NJ, onde, com a ajuda de Einstein, assumiu um cargo no recém-formado Institute for Advanced Studies (IAS). Ele passou o resto de sua vida trabalhando e ensinando no IAS, do qual se aposentou em 1976. Gödel tornou-se cidadão americano em 1948. (Einstein compareceu à audiência porque o comportamento de Gödel era bastante imprevisível, e Einstein temia que Gödel pudesse sabotar seu próprio caso.)
Em 1940, apenas alguns meses depois de chegar a Princeton, Gödel publicou outro artigo matemático clássico, Consistência do Axioma da Escolha e da Hipótese do Contínuo Generalizado com os Axiomas da Teoria dos Conjuntos, que provou que o axioma da escolha e a hipótese do contínuo são consistente com os axiomas padrão (como os axiomas de Zermelo-Fraenkel) da teoria dos conjuntos. Isso estabeleceu metade de uma conjectura de Gödel - ou seja, que o continuum hipótese não poderia ser provado verdadeiro ou falso em teorias de conjuntos padrão. A prova de Gödel mostrou que não poderia ser provado como falso nessas teorias. Em 1963, o matemático americano Paul Cohen demonstrou que também não se podia provar a verdade nessas teorias, vindicando Conjectura de Gödel.
Em 1949, Gödel também deu uma importante contribuição para a física, mostrando que a teoria geral de Einstein relatividade permite a possibilidade de viagem no tempo.
Volte para a filosofia
Em seus últimos anos, Gödel começou a escrever sobre questões filosóficas. Gödel sempre se interessou por isso. Na verdade, é um fato pouco conhecido que Gödel se propôs a provar o teorema da incompletude em primeiro lugar porque ele pensou que poderia usá-lo para estabelecer a visão filosófica conhecida como platonismo - ou, mais especificamente, a subvisão conhecida como platonismo matemático. Platonismo matemático é a visão de que frases matemáticas, como 2 + 2 = 4, fornecem descrições verdadeiras de uma coleção de objetos - a saber, números - que são não físicos e não mentais e existem fora do espaço e do tempo em um domínio matemático especial - ou, como também foi chamado, céu platônico. A ideia de Gödel era que se ele pudesse provar o teorema da incompletude, ele poderia mostrar que havia verdades matemáticas improváveis. Isso, ele pensou, seria um longo caminho para estabelecer o platonismo, porque mostraria que a verdade matemática é objetiva - isto é, que vai além da mera comprovação humana ou sistemas de axiomas humanos.
Em 1964, Gödel publicou um artigo filosófico, What Is Cantor’s Continuum Problem ?, no qual ele propôs uma solução para uma antiga objeção ao platonismo. É frequentemente argumentado que o platonismo não pode ser verdadeiro, porque torna o conhecimento matemático impossível: enquanto os humanos parecem adquirir todo o conhecimento do mundo externo por meio da percepção sensorial, o platonismo afirma que objetos matemáticos, como números, são objetos não físicos que não podem ser percebidos por os sentidos. Gödel respondeu a este argumento afirmando que, além dos cinco sentidos normais, os humanos também possuem uma faculdade de matemática intuição , uma faculdade que permite às pessoas compreender a natureza dos números ou vê-los com os olhos da mente. A afirmação de Gödel era que a faculdade de intuição matemática torna possível adquirir conhecimento de objetos matemáticos não físicos que existem fora do espaço e do tempo.
Infelizmente para Gödel, suas opiniões filosóficas não foram amplamente aceitas. Todos aceitam seu teorema da incompletude, mas muito poucas pessoas acreditam que ele estabelece o platonismo.
À medida que Gödel envelhecia, ele ficava cada vez mais paranóico e eventualmente se convencia de que estava sendo envenenado. Ele se recusou a comer a menos que sua esposa provasse sua comida primeiro. Quando ela ficou doente e teve que ser hospitalizada por um longo período de tempo, Gödel basicamente parou de comer e morreu de fome.
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