Trigonometria
Trigonometria , o ramo de matemática preocupada com funções específicas de ângulos e sua aplicação aos cálculos. Existem seis funções de um ângulo comumente usado em trigonometria. Seus nomes e abreviações são seno (sin), cosseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc). Essas seis funções trigonométricas em relação a um triângulo retângulo são exibidas na figura. Por exemplo, o triângulo contém um ângulo PARA , e a proporção do lado oposto a PARA e o lado oposto ao ângulo reto (a hipotenusa) é chamado de seno de PARA , ou pecado PARA ; as outras funções de trigonometria são definidas de forma semelhante. Essas funções são propriedades do ângulo PARA independente do tamanho do triângulo, e os valores calculados foram tabulados para muitos ângulos antes computadores feitotabelas de trigonometriaobsoleto. Funções trigonométricas são usados na obtenção de ângulos desconhecidos e distâncias de ângulos conhecidos ou medidos em figuras geométricas.
as seis funções trigonométricas Com base nas definições, existem várias relações simples entre as funções. Por exemplo, csc PARA = 1 / pecado PARA , seg PARA = 1 / cos PARA , berço PARA = 1 / bronzeado PARA e bronzeado PARA = sem PARA /alguma coisa PARA . Encyclopædia Britannica, Inc.
A trigonometria desenvolvida a partir da necessidade de calcular ângulos e distâncias em campos como astronomia , elaboração de mapas , levantamento e localização de alcance de artilharia. Problemas envolvendo ângulos e distâncias em um plano são abordados em trigonometria plana . As aplicações a problemas semelhantes em mais de um plano do espaço tridimensional são consideradas em trigonometria esférica .
História da trigonometria
Trigonometria clássica
A palavra trigonometria vem das palavras gregas trígono (triângulo) e metron (medir). Até por volta do século 16, a trigonometria preocupava-se principalmente em calcular os valores numéricos das partes ausentes de um triângulo (ou de qualquer forma que pudesse ser dissecada em triângulos) quando os valores das outras partes eram dados. Por exemplo, se os comprimentos dos dois lados de um triângulo e a medida do ângulo fechado são conhecidos, o terceiro lado e os dois ângulos restantes podem ser calculados. Esses cálculos distinguem trigonometria de geometria, que investiga principalmente relações qualitativas. Claro, essa distinção nem sempre é absoluta: o teorema de Pitágoras , por exemplo, é uma declaração sobre os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo e, portanto, é de natureza quantitativa. Ainda assim, em sua forma original, a trigonometria era, em geral, uma progênie da geometria; não foi até o século 16 que os dois se tornaram ramos separados da matemática .
Egito Antigo e o mundo mediterrâneo
Várias civilizações antigas, em particular, a egípcia, Babilônico , Hindu e chinês - possuía um conhecimento considerável de geometria prática, incluindo alguns conceitos que eram um prelúdio para a trigonometria. O papiro Rhind, uma coleção egípcia de 84 problemas em aritmética, álgebra e geometria datada de cerca de 1800bce, contém cinco problemas que lidam com o seked . Uma análise atenta do texto, com suas figuras acompanhantes, revela que esta palavra significa a inclinação de uma inclinação - conhecimento essencial para grandes projetos de construção como o pirâmides . Por exemplo, o problema 56 pergunta: Se uma pirâmide tem 250 côvados de altura e o lado de sua base tem 360 cúbitos de comprimento, qual é o seu seked ? A solução é dada como 51/25palmas por côvado, e, uma vez que um côvado é igual a 7 palmas, esta fração é equivalente à proporção pura18/25. Essa é, na verdade, a proporção de crescimento para cima da pirâmide em questão - na verdade, a cotangente do ângulo entre a base e a face. Mostra que os egípcios tinham pelo menos algum conhecimento das relações numéricas em um triângulo, uma espécie de proto-trigonometria.
egípcio seked Os egípcios definiram o seked como a proporção entre a inclinação e a elevação, que é a recíproca da definição moderna de declive. Encyclopædia Britannica, Inc.
A trigonometria no sentido moderno começou com o Gregos . Hipparchus ( c. 190-120bce) foi o primeiro a construir uma tabela de valores para uma função trigonométrica. Ele considerou cada triângulo - plano ou esférico - como sendo inscrito em um círculo, de modo que cada lado se torna uma corda (ou seja, uma linha reta que conecta dois pontos em uma curva ou superfície, como mostrado pelo triângulo inscrito PARA B C na figura). Para calcular as várias partes do triângulo, é necessário encontrar o comprimento de cada corda como uma função do ângulo central que o subtende - ou, equivalentemente, o comprimento de uma corda como uma função da largura do arco correspondente. Essa se tornou a principal tarefa da trigonometria nos séculos seguintes. Como astrônomo, Hipparchus estava principalmente interessado em triângulos esféricos, como o triângulo imaginário formado por três estrelas na esfera celeste, mas ele também estava familiarizado com as fórmulas básicas da trigonometria plana. Na época de Hiparco, essas fórmulas eram expressas em termos puramente geométricos como relações entre os vários acordes e os ângulos (ou arcos) que os subtendem; os símbolos modernos para as funções trigonométricas não foram introduzidos até o século XVII.
triângulo inscrito em um círculo Esta figura ilustra a relação entre um ângulo central θ (um ângulo formado por dois raios em um círculo) e sua corda PARA B (igual a um lado de um triângulo inscrito). Encyclopædia Britannica, Inc.
Estude como Ptolomeu tentou usar deferentes e epiciclos para explicar o movimento retrógrado a teoria do sistema solar de Ptolomeu. Encyclopædia Britannica, Inc. Veja todos os vídeos para este artigo
O primeiro grande trabalho antigo em trigonometria a chegar intacto à Europa após a Idade das Trevas foi o Almagest por Ptolomeu ( c. 100-170esta) Ele viveu em Alexandria , a intelectual centro do mundo helenístico, mas pouco se sabe sobre ele. Embora Ptolomeu tenha escrito obras sobre matemática, geografia , e óptica, ele é conhecido principalmente pela Almagest , um compêndio de 13 livros sobre astronomia que se tornou a base para a imagem do mundo da humanidade até o sistema heliocêntrico de Copérnico começou a suplantar o sistema geocêntrico de Ptolomeu em meados do século 16. A fim de desenvolver esta imagem do mundo - cuja essência era uma imagem estacionária terra em torno do qual o sol , A Lua e os cinco planetas conhecidos se movem em órbitas circulares - Ptolomeu teve que usar alguma trigonometria elementar. Capítulos 10 e 11 do primeiro livro do Almagest tratam da construção de uma tabela de acordes, em que o comprimento de um acorde em círculo é dado em função do ângulo central que o subtende, para ângulos que variam de 0 ° a 180 ° em intervalos de meio grau. Esta é essencialmente uma tabela de senos, que pode ser vista denotando o raio r , o arco PARA , e a duração do acorde subtendido c , obter c = 2 r sem PARA /dois. Como Ptolomeu usou os numerais e sistemas numéricos sexagesimais da Babilônia (base 60), ele fez seus cálculos com um círculo de raio padrão r = 60 unidades, de modo que c = 120 sem PARA /dois. Assim, além do fator de proporcionalidade 120, tratava-se de uma tabela de valores de pecado PARA /doise, portanto (dobrando o arco) do pecado PARA . Com a ajuda de sua mesa, Ptolomeu melhorou as medidas geodésicas existentes do mundo e refinou o modelo de Hiparco dos movimentos dos corpos celestes.
construir uma tabela de acordes, rotulando o ângulo central PARA , os raios r , e o acorde c na figura, pode-se mostrar que c = 2 r sem ( PARA / 2). Portanto, uma tabela de valores para cordas em um círculo de raio fixo também é uma tabela de valores para o seno dos ângulos (dobrando o arco). Encyclopædia Britannica, Inc.
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