Para entender a teoria do caos, jogue um jogo de Plinko
O jogo de Plinko ilustra perfeitamente a teoria do caos. Mesmo com condições iniciais indistinguíveis, o resultado é sempre incerto.- A teoria do caos decorre das observações de que, dado um sistema complexo o suficiente, sua evolução no tempo será imprevisível se você esperar tempo suficiente, não importa o quão precisamente você conheça as leis e as condições iniciais.
- Embora nunca tenha sido projetado para o aplicativo, o simples jogo de Plinko, que ficou famoso por The Price Is Right, ilustra perfeitamente a ideia de caos matemático.
- Não importa a precisão com que você coloque dois chips Plinko, um após o outro, você simplesmente não pode contar com o mesmo resultado vez após vez.
De todos os jogos de preços no icônico programa de televisão O preço está certo , talvez o mais emocionante de todos seja Plinko . Os competidores jogam um jogo de preços inicial para obter até 5 discos redondos e planos — conhecidos como chips Plinko — que eles pressionam contra um pegboard onde quiserem, liberando-o sempre que quiserem. Uma de cada vez, as fichas Plinko descem em cascata pelo tabuleiro, saltando dos pinos e movendo-se horizontal e verticalmente, até emergirem na parte inferior do tabuleiro, pousando em um dos prêmios (ou nenhum prêmio) slots.
Notavelmente, os competidores que soltam um chip que cai no slot de prêmio máximo, sempre encontrado no centro direto do tabuleiro, geralmente tentam repetir exatamente a mesma queda com os discos restantes que possuem. Apesar de seus melhores esforços, no entanto, e do fato de que o posicionamento inicial dos discos pode ser praticamente idêntico, os caminhos finais que os discos acabam percorrendo quase nunca são idênticos. Surpreendentemente, este jogo é uma ilustração perfeita da teoria do caos e ajuda a explicar a segunda lei da termodinâmica em termos compreensíveis. Aqui está a ciência por trás disso.
Trajetórias de uma partícula em uma caixa (também chamada de poço quadrado infinito) na mecânica clássica (A) e na mecânica quântica (B-F). Em (A), a partícula se move com velocidade constante, saltando para frente e para trás. Em (B-F), as soluções de função de onda para a Equação de Schrodinger dependente do tempo são mostradas para a mesma geometria e potencial. O eixo horizontal é a posição, o eixo vertical é a parte real (azul) ou a parte imaginária (vermelha) da função de onda. Esses estados estacionários (B, C, D) e não estacionários (E, F) fornecem apenas probabilidades para a partícula, em vez de respostas definitivas sobre onde ela estará em um determinado momento.Em um nível fundamental, o Universo é de natureza mecânica quântica, cheio de indeterminismo e incerteza inerentes. Se você pegar uma partícula como um elétron, você pode pensar em fazer perguntas como:
- Onde está esse elétron?
- Quão rápido e em que direção esse elétron está se movendo?
- E se eu desviar o olhar agora e olhar para trás um segundo depois, onde estará o elétron?
Todas são perguntas razoáveis, e esperamos que todas tenham respostas definitivas.
Mas o que realmente acontece é tão bizarro que é extremamente perturbador, mesmo para físicos que passaram a vida estudando isso. Se você fizer uma medição para responder com precisão “Onde está esse elétron?” você fica mais incerto sobre seu impulso: quão rápido e em que direção ele se move. Se você medir o momento, ficará mais incerto sobre sua posição. E como você precisa conhecer o momento e a posição para prever onde ele chegará com alguma certeza no futuro, você só pode prever uma distribuição de probabilidade para sua posição futura. Você precisará de uma medição nesse momento futuro para determinar onde ela realmente está.
Na mecânica newtoniana (ou einsteiniana), um sistema evoluirá ao longo do tempo de acordo com equações completamente determinísticas, o que significa que, se você puder conhecer as condições iniciais (como posições e momentos) para tudo em seu sistema, poderá evoluí-lo , sem erros, avança arbitrariamente no tempo. Na prática, devido à incapacidade de conhecer as condições iniciais para precisões verdadeiramente arbitrárias, isso não é verdade.Talvez para Plinko, no entanto, essa estranheza da mecânica quântica não deva importar. A física quântica pode ter um indeterminismo fundamental e uma incerteza inerente a ela, mas para sistemas macroscópicos de grande escala, a física newtoniana deveria ser perfeitamente suficiente. Ao contrário das equações da mecânica quântica que governam a realidade em um nível fundamental, a física newtoniana é completamente determinista.
Viaje pelo Universo com o astrofísico Ethan Siegel. Os assinantes receberão a newsletter todos os sábados. Todos a bordo!De acordo com as leis do movimento de Newton - que podem ser derivadas de F = m uma (força é igual a massa vezes aceleração) — se você conhece as condições iniciais, como posição e momento, você deve saber exatamente onde seu objeto está e qual movimento ele terá em qualquer ponto no futuro. A equação F = m uma diz o que acontece um momento depois, e uma vez que esse momento tenha passado, essa mesma equação lhe diz o que acontece depois que o próximo momento passou.
Qualquer objeto para o qual os efeitos quânticos possam ser negligenciados obedece a essas regras, e a física newtoniana nos diz como esse objeto evoluirá continuamente ao longo do tempo.
No entanto, mesmo com equações perfeitamente determinísticas, há um limite para o quão bem podemos prever um sistema newtoniano . Se isso te surpreende, saiba que você não está sozinho; a maioria dos principais físicos que trabalharam em sistemas newtonianos pensava que não haveria tal limite. Em 1814, o matemático Pierre Laplace escreveu um tratado intitulado “ Um ensaio filosófico sobre probabilidades, ” onde ele previu que, uma vez que obtivessemos informações suficientes para determinar o estado do Universo a qualquer momento, poderíamos usar com sucesso as leis da física para prever todo o futuro de tudo absolutamente: sem incerteza. Nas palavras do próprio Laplace:
“Um intelecto que em determinado momento conhecesse todas as forças que põem a natureza em movimento e todas as posições de todos os itens de que a natureza é composta, se esse intelecto também fosse vasto o suficiente para submeter esses dados à análise, ele abarcaria em um único formular os movimentos dos maiores corpos do universo e os do menor átomo; para tal intelecto nada seria incerto e o futuro assim como o passado estaria presente diante de seus olhos”.
E, no entanto, a necessidade de invocar probabilidades para fazer previsões sobre o futuro não decorre necessariamente da ignorância (conhecimento imperfeito sobre o Universo) ou de fenômenos quânticos (como o princípio da incerteza de Heisenberg), mas surge como causa do fenômeno clássico : caos. Não importa o quão bem você conheça as condições iniciais do seu sistema, equações determinísticas - como as leis do movimento de Newton - nem sempre levam a um universo determinístico.
Isso foi descoberto no início dos anos 1960, quando Edward Lorenz, professor de meteorologia do MIT, tentou usar um computador mainframe para ajudar a chegar a uma previsão meteorológica precisa. Usando o que ele acreditava ser um modelo meteorológico sólido, um conjunto completo de dados mensuráveis (temperatura, pressão, condições do vento, etc.) e um computador arbitrariamente poderoso, ele tentou prever as condições climáticas no futuro. Ele construiu um conjunto de equações, programou-as em seu computador e esperou pelos resultados.
Em seguida, ele reinseriu os dados e executou o programa por mais tempo.
Surpreendentemente, na segunda vez que ele executou o programa, os resultados divergiram em um ponto por uma quantidade muito pequena, e depois divergiram muito rapidamente. Os dois sistemas, além desse ponto, comportavam-se como se não tivessem nenhuma relação entre si, com suas condições evoluindo caoticamente uma em relação à outra.
Eventualmente, Lorenz encontrou o culpado: quando Lorenz reintroduziu os dados pela segunda vez, ele usou a impressão do computador desde a primeira execução para os parâmetros de entrada, que foi arredondado após um número finito de casas decimais. Essa pequena diferença nas condições iniciais pode ter correspondido apenas à largura de um átomo ou menos, mas foi o suficiente para alterar drasticamente o resultado, principalmente se você evoluísse seu sistema no futuro o suficiente.
Pequenas e imperceptíveis diferenças nas condições iniciais levaram a resultados dramaticamente diferentes, um fenômeno coloquialmente conhecido como Efeito Borboleta. Mesmo em sistemas completamente deterministas, surge o caos.
Tudo isso nos traz de volta ao quadro Plinko. Embora existam muitas versões do jogo disponíveis, inclusive em parques de diversões e cassinos, todas elas são baseadas em , onde os objetos saltam para um lado ou para o outro em uma rampa cheia de obstáculos. A placa real usada em The Price Is Right tem algo em torno de 13 a 14 níveis verticais diferentes de “pegs” para cada chip Plinko para potencialmente ricochetear. Se você está buscando o ponto central, há muitas estratégias que você pode empregar, incluindo:
- começando no centro e visando uma queda que manterá o chip no centro,
- começando de um lado e visando uma queda que fará a ficha saltar para o centro no momento em que chegar ao fundo,
- ou começando perto do centro, e apontando para uma queda que se afastará mais do centro antes de retornar ao centro.
Toda vez que seu chip atinge um pino no caminho para baixo, ele tem o potencial de derrubá-lo um ou mais espaços para ambos os lados, mas toda interação é puramente clássica: governada pelas leis determinísticas de Newton. Se você pudesse tropeçar em um caminho que fizesse com que seu chip pousasse exatamente onde você desejava, então, em teoria, se você pudesse recriar as condições iniciais com precisão suficiente - até o mícron, o nanômetro ou mesmo o átomo - talvez, mesmo com 13 ou 14 rejeições, você pode acabar com um resultado idêntico o suficiente, ganhando o grande prêmio como resultado.
Mas se você expandir seu quadro Plinko, os efeitos do caos se tornarão inevitáveis. Se a prancha fosse mais longa e tivesse dezenas, centenas, milhares ou até milhões de linhas, você rapidamente se depararia com uma situação em que até duas gotas idênticas ao comprimento de Planck - o limite quântico fundamental no qual as distâncias fazem sentido em nosso Universo — você começaria a ver o comportamento de dois chips Plinko divergindo depois de um certo ponto.
Além disso, a ampliação do quadro de Plinko permite um maior número de resultados possíveis, fazendo com que a distribuição dos estados finais seja bastante dispersa. Simplificando, quanto maior e mais larga for a placa Plinko, maiores as chances de não apenas resultados desiguais, mas de resultados desiguais que exibem uma diferença de magnitude enorme entre dois chips Plinko descartados.
Isso não se aplica apenas ao Plinko, é claro, mas a qualquer sistema com um grande número de interações: discretas (como colisões) ou contínuas (como múltiplas forças gravitacionais atuando simultaneamente). Se você pegar um sistema de moléculas de ar onde um lado de uma caixa está quente e o outro lado está frio, e você remover um divisor entre eles, colisões entre essas moléculas ocorrerão espontaneamente, fazendo com que as partículas troquem energia e momentos. Mesmo em uma caixa pequena, haveria mais de 1020 partículas; em pouco tempo, a caixa inteira terá a mesma temperatura e nunca mais se separará em um “lado quente” e um “lado frio”.
Mesmo no espaço, apenas três pontos de massa são suficientes para introduzir fundamentalmente o caos . Três buracos negros massivos, limitados a distâncias da escala dos planetas em nosso Sistema Solar, evoluirão caoticamente, não importa o quão precisamente suas condições iniciais sejam replicadas. O fato de que há um corte em como pequenas distâncias podem chegar e ainda fazer sentido — novamente, o comprimento de Planck — garante que precisões arbitrárias em escalas de tempo suficientemente longas nunca possam ser garantidas.
A chave do caos é esta: mesmo quando suas equações são perfeitamente determinísticas, você não pode conhecer as condições iniciais para sensibilidades arbitrárias. Mesmo colocar um chip Plinko na placa e liberá-lo com precisão atômica não será suficiente, com uma placa Plinko grande o suficiente, para garantir que vários chips sigam caminhos idênticos. Na verdade, com uma placa suficientemente grande, você pode garantir que, não importa quantas fichas Plinko você derrube, você nunca chegará a dois caminhos verdadeiramente idênticos. Eventualmente, todos eles divergiriam.
Variações minúsculas - a presença de moléculas de ar movendo-se a partir do anúncio do apresentador, variações de temperatura decorrentes da respiração do competidor, vibrações da platéia do estúdio se propagando para os pinos, etc. - introduzem incerteza suficiente para que, longe o suficiente, esses sistemas sejam efetivamente impossível de prever. Junto com a aleatoriedade quântica, essa aleatoriedade clássica efetiva nos impede de conhecer o resultado de um sistema complexo, não importa quanta informação inicial tenhamos. Como o físico Paul Halpern colocou tão eloquentemente , 'Deus joga dados de mais de uma maneira'.
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