Logaritmo

Logaritmo , o expoente ou potência para a qual uma base deve ser elevada para produzir um determinado número. Expresso matematicamente, x é o logaritmo de n para a base b E se b x = n , caso em que se escreve x = log b n . Por exemplo, 23= 8; portanto, 3 é o logaritmo de 8 na base 2, ou 3 = logdois8. Da mesma forma, desde 10dois= 100, então 2 = log10100. Logaritmos do último tipo (ou seja, logaritmos com base 10) são chamados de logaritmos comuns ou Briggsian e são escritos simplesmente log n .

Inventado no século 17 para acelerar os cálculos, os logaritmos reduziram enormemente o tempo necessário para a multiplicação de números com muitos dígitos. Eles foram básicos no trabalho numérico por mais de 300 anos, até que o aperfeiçoamento das máquinas de calcular mecânicas no final do século 19 e os computadores no século 20 os tornaram obsoletos para cálculos em grande escala. O logaritmo natural (com base é ≅ 2.71828 e escrito ln n ), no entanto, continua a ser uma das funções mais úteis em matemática , com aplicações a modelos matemáticos em todas as ciências físicas e biológicas.



Propriedades dos logaritmos

Os logaritmos foram rapidamente adotados pelos cientistas por causa de várias propriedades úteis que simplificavam cálculos longos e tediosos. Em particular, os cientistas podem encontrar o produto de dois números m e n procurando o logaritmo de cada número em uma tabela especial, adicionando os logaritmos e, em seguida, consultando a tabela novamente para encontrar o número com esse logaritmo calculado (conhecido como seu antilogaritmo). Expresso em termos de logaritmos comuns, esta relação é dada por log m n = log m + log n . Por exemplo, 100 × 1.000 pode ser calculado procurando os logaritmos de 100 (2) e 1.000 (3), adicionando os logaritmos (5) e, em seguida, encontrando seu antilogaritmo (100.000) na tabela. Da mesma forma, os problemas de divisão são convertidos em problemas de subtração com logaritmos: log m / n = log m - log n . Isso não é tudo; o cálculo de potências e raízes pode ser simplificado com o uso de logaritmos. Os logaritmos também podem ser convertidos entre quaisquer bases positivas (exceto que 1 não pode ser usado como a base, uma vez que todas as suas potências são iguais a 1), conforme mostrado no Leis logarítmicastabelade leis logarítmicas.



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Apenas logaritmos para números entre 0 e 10 eram normalmente incluídos nas tabelas de logaritmos. Para obter o logaritmo de algum número fora desse intervalo, o número foi primeiro escrito em notação científica como o produto de seus dígitos significativos e seu poder exponencial - por exemplo, 358 seria escrito como 3,58 × 10dois, e 0,0046 seria escrito como 4,6 × 10-3. Em seguida, o logaritmo dos dígitos significativos - um decimal fração entre 0 e 1, conhecida como mantissa, seria encontrada em uma tabela. Por exemplo, para encontrar o logaritmo de 358, deve-se procurar o log 3,58 ≅ 0,55388. Portanto, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. No exemplo de um número com um expoente negativo, como 0,0046, seria encontrado log 4,6 ≅ 0,66276. Portanto, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 - 3 = −2,33724.

História dos logaritmos

A invenção dos logaritmos foi prenunciada pela comparação de sequências aritméticas e geométricas. Em uma seqüência geométrica, cada termo forma uma proporção constante com seu sucessor; por exemplo,… 1 / 1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000…tem uma proporção comum de 10. Em uma seqüência aritmética, cada termo sucessivo difere por uma constante, conhecida como diferença comum; por exemplo,... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ...tem uma diferença comum de 1. Observe que uma sequência geométrica pode ser escrita em termos de sua proporção comum; para o exemplo de sequência geométrica fornecida acima:… 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 10dois, 103Multiplicar dois números na sequência geométrica, digamos 1/10 e 100, é igual a adicionar os expoentes correspondentes da razão comum, -1 e 2, para obter 101= 10. Assim, a multiplicação é transformada em adição. A comparação original entre as duas séries, entretanto, não foi baseada em nenhum uso explícito da notação exponencial; este foi um desenvolvimento posterior. Em 1620, a primeira tabela baseada no conceito de relacionar sequências geométricas e aritméticas foi publicada em Praga pelo matemático suíço Joost Bürgi.



O matemático escocês John Napier publicou sua descoberta de logaritmos em 1614. Seu propósito era ajudar na multiplicação de quantidades que eram então chamadas de senos. O seno inteiro era o valor do lado de um triângulo retângulo com uma grande hipotenusa. (A hipotenusa original de Napier era de 107.) Sua definição foi dada em termos de taxas relativas.

O logaritmo, portanto, de qualquer seno é um número que expressa muito vagamente a linha que aumentou igualmente no tempo do meene enquanto a linha de todo o seno diminuiu proporcionalmente naquele seno, ambos os movimentos sendo cronometrados iguais e o início igualmente alterado.

Em cooperação com o matemático inglês Henry Briggs, Napier ajustou seu logaritmo à sua forma moderna. Para o logaritmo de Naperian, a comparação seria entre pontos que se movem em uma linha reta graduada, o eu ponto (para o logaritmo) movendo-se uniformemente de menos infinidade para mais infinito, o X ponto (para o seno) movendo-se de zero ao infinito a uma velocidade proporcional à sua distância de zero. Além disso, eu é zero quando X é um e sua velocidade é igual neste ponto. A essência da descoberta de Napier é que este constitui uma generalização da relação entre as séries aritmética e geométrica; ou seja, multiplicação e elevação a uma potência dos valores do X ponto corresponde à adição e multiplicação dos valores do eu ponto, respectivamente. Na prática, é conveniente limitar o eu e X movimento pela exigência de que eu = 1 em X = 10 além da condição de que X = 1 em eu = 0. Essa mudança produziu o logaritmo Briggsian, ou comum.



Napier morreu em 1617 e Briggs continuou sozinho, publicando em 1624 uma tabela de logaritmos calculados com 14 casas decimais para números de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000. Em 1628, o editor holandês Adriaan Vlacq apresentou uma tabela de 10 casas para valores de 1 a 100.000, adicionando os 70.000 valores ausentes. Tanto Briggs quanto Vlacq se envolveram na criação de tabelas trigonométricas logarítmicas. Essas primeiras tabelas tinham um centésimo de grau ou um minuto de arco. No século 18, as tabelas foram publicadas para intervalos de 10 segundos, que eram convenientes para tabelas de sete casas decimais. Em geral, intervalos mais finos são necessários para calcular funções logarítmicas de números menores - por exemplo, no cálculo das funções log sin x e bronzeado x .

A disponibilidade de logaritmos influenciou muito a forma do plano e esférico trigonometria . Os procedimentos de trigonometria foram reformulados para produzir fórmulas nas quais as operações que dependem de logaritmos são feitas todas de uma vez. O recurso às tabelas consistia então em apenas duas etapas, obtenção dos logaritmos e, após a realização dos cálculos com os logaritmos, obtenção dos antilogaritmos.

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