Diferenciação

Diferenciação , dentro matemática , processo de encontrar a derivada, ou taxa de variação, de uma função. Em contraste com a natureza abstrata da teoria por trás dela, a técnica prática de diferenciação pode ser realizada por manipulações puramente algébricas, usando três derivadas básicas, quatro regras de operação e um conhecimento de como manipular funções.



Os três derivados básicos ( D ) são: (1) para funções algébricas, D ( x n ) = n x n - 1, no qual n é algum número real ; (2) para funções trigonométricas, D (sem x ) = cos x e D (alguma coisa x ) = −sin x ; e (3) para funções exponenciais , D ( é x ) = é x .



Para funções construídas de combinações dessas classes de funções, a teoria fornece as seguintes regras básicas para diferenciador a soma, produto ou quociente de quaisquer duas funções f ( x ) e g ( x ) cujos derivados são conhecidos (onde para e b são constantes): D ( para f + b g ) = para D f + b D g (somas); D ( f g ) = f D g + g D f (produtos); e D ( f / g ) = ( g D f - f D g ) / g dois(quocientes).



A outra regra básica, chamada regra da cadeia, fornece uma maneira de distinguir uma função composta. Se f ( x ) e g ( x ) são duas funções, a função composta f ( g ( x )) é calculado para um valor de x avaliando primeiro g ( x ) e, em seguida, avaliando a função f neste valor de g ( x ); por exemplo, se f ( x ) = sem x e g ( x ) = x dois, então f ( g ( x )) = sem x dois, enquanto g ( f ( x )) = (sem x )dois. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta é dada por um produto, como D ( f ( g ( x ))) = D f ( g ( x )) ∙ D g ( x ) Em palavras, o primeiro fator à direita, D f ( g ( x )), indica que a derivada de D f ( x ) é encontrado primeiro como de costume e, em seguida, x , onde quer que ocorra, é substituído pela função g ( x ) No exemplo do pecado x dois, a regra dá o resultado D (sem x dois) = D sem( x dois) ∙ D ( x dois) = (cos x dois) ∙ 2 x .

No matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz Notação, que usa d / d x no lugar de D e, assim, permite que a diferenciação em relação a diferentes variáveis ​​seja explicitada, a regra da cadeia assume a forma de cancelamento simbólico mais memorável: d ( f ( g ( x ))) / d x = d f / d gd g / d x .



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