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Análise vetorial

Análise vetorial , um ramo de matemática que lida com quantidades que têm magnitude e direção. Algumas grandezas físicas e geométricas, chamadas escalares, podem ser totalmente definidas especificando-se sua magnitude em unidades de medida adequadas. Assim, a massa pode ser expressa em gramas, a temperatura em graus em alguma escala e o tempo em segundos. Os escalares podem ser representados graficamente por pontos em alguma escala numérica, como um relógio ou termômetro. Também existem quantidades, chamadas de vetores, que requerem a especificação de direção e magnitude. Velocidade, força e deslocamento são exemplos de vetores. Uma quantidade vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de linha direcionado, simbolizado por uma seta apontando na direção da quantidade vetorial, com o comprimento do segmento representando a magnitude do vetor.

Álgebra de vetores.

PARA protótipo de um vetor é um segmento de linha direcionado PARA B ( Vejo figura 1) que pode ser pensado para representar o deslocamento de uma partícula de sua posição inicial PARA para uma nova posição B . Para distinguir vetores de escalares, é comum denotar vetores por letras em negrito. Assim, o vetor PARA B dentrofigura 1pode ser denotado por para e seu comprimento (ou magnitude) por | para | Em muitos problemas, a localização do ponto inicial de um vetor é irrelevante, de modo que dois vetores são considerados iguais se tiverem o mesmo comprimento e a mesma direção.

Figura 1: Lei do paralelograma para adição de vetores Encyclopædia Britannica, Inc.

A igualdade de dois vetores para e b é denotado pela notação simbólica usual para = b , e definições úteis das operações algébricas elementares em vetores são sugeridas pela geometria. Portanto, se PARA B = para dentrofigura 1representa o deslocamento de uma partícula de PARA para B e, subsequentemente, a partícula é movida para uma posição C , para que B C = b , é claro que o deslocamento de PARA para C pode ser realizado por um único deslocamento PARA C = c . Portanto, é lógico escrever para + b = c . Esta construção da soma, c , de para e b produz o mesmo resultado que a lei do paralelogramo em que o resultado c é dado pela diagonal PARA C do paralelogramo construído em vetores PARA B e PARA D como lados. Desde a localização do ponto inicial B do vetor B C = b é imaterial, segue-se que B C = PARA D .figura 1mostra que PARA D + D C = PARA C , de modo que a lei comutativa

vale para adição de vetor. Além disso, é fácil mostrar que a lei associativa

é válido e, portanto, os parênteses em (2) podem ser omitidos sem qualquer ambigüidades .

Se s é um escalar, s para ou para s é definido como um vetor cujo comprimento é | s || para | e cuja direção é a de para quando s é positivo e oposto ao de para E se s é negativo. Desse modo, para e - para são vetores iguais em magnitude, mas em direções opostas. As definições anteriores e as propriedades bem conhecidas dos números escalares (representados por s e t ) mostre que

Visto que as leis (1), (2) e (3) são idênticas àquelas encontradas na álgebra comum, é bastante apropriado usar regras algébricas familiares para resolver sistemas de equações lineares contendo vetores. Este fato torna possível deduzir por meios puramente algébricos muitos teoremas de sintético Geometria euclidiana que requer construções geométricas complicadas.

Produtos de vetores.

A multiplicação de vetores leva a dois tipos de produtos, o produto escalar e o produto vetorial.

O ponto ou produto escalar de dois vetores para e b , escrito para · b , é um número real | para || b | alguma coisa ( para , b ), Onde ( para , b ) denota o ângulo entre as direções de para e b . Geometricamente,

Se para e b estão em ângulos retos então para · b = 0, e se nenhum para nem b é um vetor zero, então o desaparecimento do produto escalar mostra que os vetores são perpendiculares. Se para = b então cos ( para , b ) = 1, e para · para = | para |^doisdá o quadrado do comprimento de para .

As leis associativa, comutativa e distributiva da álgebra elementar são válidas para a multiplicação de pontos de vetores.

O produto cruzado ou vetorial de dois vetores para e b , escrito para × b , é o vetor

Onde n é um vetor de comprimento unitário perpendicular ao plano de para e b e dirigido de forma que um parafuso destro girado de para na direção b avançará na direção de n ( Vejo Figura 2) Se para e b são paralelos, para × b = 0. A magnitude de para × b pode ser representado pela área do paralelogramo tendo para e b como adjacente lados. Além disso, uma vez que a rotação de b para para é oposto ao de para para b ,

Figura 2: Produto cruzado formado pela multiplicação de dois vetores Encyclopædia Britannica, Inc.

Isso mostra que o produto vetorial não é comutativo, mas a lei associativa ( s para ) × b = s ( para × b ) e a lei distributiva

são válidos para produtos cruzados.

Sistemas coordenados.

Desde a empírico As leis da física não dependem de escolhas especiais ou acidentais de referenciais selecionados para representar relações físicas e configurações geométricas; a análise vetorial constitui uma ferramenta ideal para o estudo do universo físico. A introdução de um quadro de referência especial ou sistema de coordenadas estabelece uma correspondência entre vetores e conjuntos de números que representam os componentes dos vetores naquele quadro, e induz regras de operação definidas nesses conjuntos de números que seguem das regras para operações nos segmentos de linha.

Se algum conjunto particular de três vetores não colineares (denominados vetores de base) for selecionado, qualquer vetor PARA pode ser expressa exclusivamente como a diagonal do paralelepípedo cujas bordas são os componentes de PARA nas direções dos vetores de base. Em uso comum é um conjunto de três mutuamente ortogonal vetores unitários ( ou seja, vetores de comprimento 1) eu , j , para dirigido ao longo dos eixos do quadro de referência cartesiano familiar ( Vejo Figura 3) Neste sistema, a expressão assume a forma

Figura 3: Resolução de um vetor em três componentes mutuamente perpendiculares Encyclopædia Britannica, Inc.

Onde x , Y , e com são as projeções de PARA sobre os eixos coordenados. Quando dois vetores PARA ₁e PARA _doissão representados como

então o uso das leis (3) resulta em sua soma

Assim, em um quadro cartesiano, a soma de PARA ₁e PARA _doisé o vetor determinado por ( x ₁+ Y ₁, x _dois+ Y _dois, x ₃+ Y ₃) Além disso, o produto escalar pode ser escrito

Desde a

O uso da lei (6) produz para

de modo que o produto vetorial é o vetor determinado pelo triplo dos números que aparecem como os coeficientes de eu , j , e para em (9).

Se os vetores são representados por matrizes 1 × 3 (ou 3 × 1) que consistem nos componentes ( x ₁, x _dois, x ₃) dos vetores, é possível reformular as fórmulas (7) a (9) na linguagem de matrizes. Tal reformulação sugere uma generalização do conceito de vetor para espaços de dimensionalidade superior a três. Por exemplo, o estado de um gás geralmente depende da pressão p volume v temperatura T , e tempo t . Um quádruplo de números ( p , v , T , t ) não pode ser representado por um ponto em um referencial tridimensional. Mas, uma vez que a visualização geométrica não desempenha nenhum papel nos cálculos algébricos, a linguagem figurativa da geometria ainda pode ser usada pela introdução de um quadro de referência quadridimensional determinado pelo conjunto de vetores de base para ₁, para _dois, para ₃, para ₄com componentes determinados pelas linhas da matriz

Um vetor x é então representado no formulário

de modo que em um espaço quadridimensional , cada vetor é determinado pelo quádruplo dos componentes ( x ₁, x _dois, x ₃, x ₄)

Cálculo de vetores.

Uma partícula em movimento no espaço tridimensional pode ser localizada a cada instante de tempo t por um vetor de posição r desenhado de algum ponto de referência fixo OU . Uma vez que a posição do ponto terminal de r depende do tempo, r é uma função vetorial de t . Seus componentes nas direções dos eixos cartesianos, introduzidos em OU , são os coeficientes de eu , j , e para na representação

Se esses componentes são funções diferenciáveis, a derivada de r em relação a t é definido pela fórmula

que representa a velocidade v da partícula. Os componentes cartesianos de v aparecem como coeficientes de eu , j , e para em (10). Se esses componentes também são diferenciáveis, a aceleração para = d v / d t é obtido por diferenciador (10):

As regras para diferenciar produtos de funções escalares permanecem válidas para derivados dos pontos e produtos cruzados de funções vetoriais, e definições adequadas de integrais de funções vetoriais permitem a construção do cálculo de vetores, que se tornou uma base analítico ferramenta em ciências físicas e tecnologia.

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