• Ciência

Matriz

Matriz , um conjunto de números organizados em linhas e colunas de modo a formar uma matriz retangular. Os números são chamados de elementos ou entradas da matriz. Matrizes têm amplas aplicações em Engenharia , física, economia e estatísticas, bem como em vários ramos da matemática . Historicamente, não foi a matriz, mas um certo número associado a uma matriz quadrada de números chamada determinante que foi reconhecido pela primeira vez. Só gradualmente surgiu a ideia da matriz como uma entidade algébrica. O termo matriz foi apresentado pelo matemático inglês do século 19, James Sylvester, mas foi seu amigo, o matemático Arthur Cayley, que desenvolveu o aspecto algébrico das matrizes em dois artigos na década de 1850. Cayley primeiro os aplicou ao estudo de sistemas de equações lineares, onde ainda são muito úteis. Eles também são importantes porque, como Cayley reconheceu, certos conjuntos de matrizes formam sistemas algébricos nos quais muitas das leis ordinárias da aritmética (por exemplo, as leis associativa e distributiva) são válidas, mas em que outras leis (por exemplo, a lei comutativa) são inválido. As matrizes também passaram a ter importantes aplicações em computação gráfica, onde foram usadas para representar rotações e outras transformações de imagens.

Se houver m filas e n colunas, a matriz é considerada uma m de n matriz, escrita m × n . Por exemplo,

é uma matriz 2 × 3. Uma matriz com n filas e n colunas é chamado de matriz quadrada de ordem n . Um número comum pode ser considerado uma matriz 1 × 1; assim, 3 pode ser pensado como a matriz [3].

Em uma notação comum, um letra maiúscula denota uma matriz, e a minúscula correspondente com um subscrito duplo descreve um elemento da matriz. Desse modo, para _{eu j} é o elemento no eu a linha e j ª coluna da matriz PARA . Se PARA é a matriz 2 × 3 mostrada acima, então para _onze= 1, para ₁₂= 3, para ₁₃= 8, para _{vinte e um}= 2, para ₂₂= −4, e para _2,3= 5. Sob certas condições, as matrizes podem ser adicionadas e multiplicadas como entidades individuais, dando origem a importantes sistemas matemáticos conhecidos como álgebras matriciais.

As matrizes ocorrem naturalmente em sistemas de equações simultâneas. No seguinte sistema para as incógnitas x e Y ,

a matriz de números

é uma matriz cujos elementos são os coeficientes das incógnitas. A solução das equações depende inteiramente desses números e de seu arranjo particular. Se 3 e 4 fossem trocados, a solução não seria a mesma.

Duas matrizes PARA e B são iguais entre si se possuem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas e se para _{eu j} = b _{eu j} para cada eu e cada j . Se PARA e B são dois m × n matrizes, sua soma S = PARA + B é o m × n matriz cujos elementos s _{eu j} = para _{eu j} + b _{eu j} . Ou seja, cada elemento de S é igual à soma dos elementos nas posições correspondentes de PARA e B .

Uma matriz PARA pode ser multiplicado por um número comum c , que é chamado de escalar. O produto é denotado por naquela ou E e é a matriz cujos elementos são naquela _{eu j} .

A multiplicação de uma matriz PARA por uma matriz B para produzir uma matriz C é definido apenas quando o número de colunas da primeira matriz PARA é igual ao número de linhas da segunda matriz B . Para determinar o elemento c _{eu j} , que está no eu a linha e j a coluna do produto, o primeiro elemento do eu a linha de PARA é multiplicado pelo primeiro elemento no j ª coluna de B , o segundo elemento da linha pelo segundo elemento da coluna e assim por diante até que o último elemento da linha seja multiplicado pelo último elemento da coluna; a soma de todos esses produtos dá o elemento c _{eu j} . Em símbolos, para o caso em que PARA tem m colunas e B tem m filas,

O Matrix C tem tantas linhas quanto PARA e tantas colunas quanto B .

Ao contrário da multiplicação de números comuns para e b , no qual a partir de sempre é igual BA , a multiplicação de matrizes PARA e B não é comutativo. É, no entanto, associativo e distributivo ao longo da adição. Ou seja, quando as operações são possíveis, as seguintes equações sempre são verdadeiras: PARA ( AC ) = ( A PARTIR DE ) C , PARA ( B + C ) = A PARTIR DE + AC , e ( B + C ) PARA = BA + NAQUELA . Se a matriz 2 × 2 PARA cujas linhas são (2, 3) e (4, 5) é multiplicado por ele mesmo, então o produto, geralmente escrito PARA ^dois, tem as linhas (16, 21) e (28, 37).

Uma matriz OU com todos os seus elementos, 0 é chamado de matriz zero. Uma matriz quadrada PARA com 1s na diagonal principal (superior esquerdo para inferior direito) e 0s em todas as outras partes é chamada de matriz unitária. É denotado por eu ou eu _n para mostrar que sua ordem é n . Se B é qualquer matriz quadrada e eu e OU são as matrizes unitárias e zero da mesma ordem, é sempre verdade que B + OU = OU + B = B e COM UM = IB = B . Por isso OU e eu comportar-se como o 0 e 1 da aritmética comum. Na verdade, a aritmética comum é o caso especial da aritmética de matriz em que todas as matrizes são 1 × 1.

Associado a cada matriz quadrada PARA é um número conhecido como o determinante de PARA , denotou PARA . Por exemplo, para a matriz 2 × 2

a PARA = para - ac . Uma matriz quadrada B é chamado de não singular se det B ≠ 0. Se B é não singular, há uma matriz chamada inversa de B , denotado B ^-1, de tal modo que BB ^-1= B ^-1 B = eu . O equação MACHADO = B , no qual PARA e B são matrizes conhecidas e X é uma matriz desconhecida, pode ser resolvida exclusivamente se PARA é uma matriz não singular, pois então PARA ^-1existe e ambos os lados da equação podem ser multiplicados à esquerda por ele: PARA ^-1( MACHADO ) = PARA ^-1 B . Agora PARA ^-1( MACHADO ) = ( PARA ^-1 PARA ) X = IX = X ; portanto, a solução é X = PARA ^-1 B . Um sistema de m equações lineares em n incógnitas sempre podem ser expressas como uma equação de matriz AX = B no qual PARA é o m × n matriz dos coeficientes das incógnitas, X é o n Matriz de × 1 das incógnitas, e B é o n × 1 matriz contendo os números do lado direito da equação.

Um problema de grande importância em muitos ramos da ciência é o seguinte: dada uma matriz quadrada PARA de ordem n, encontre o n × 1 matriz X, chamado de n vetor dimensional, de modo que MACHADO = cX . Aqui c é um número chamado autovalor, e X é chamado de autovetor. A existência de um autovetor X com autovalor c significa que uma certa transformação do espaço associada à matriz PARA estende o espaço na direção do vetor X pelo fator c .

Compartilhar: