Estimativa da média da população

O processo de estimativa de ponto e intervalo mais fundamental envolve a estimativa de uma média populacional. Suponha que seja de interesse estimar a média da população, µ, para uma variável quantitativa. Os dados coletados de uma amostra aleatória simples podem ser usados ​​para calcular a média da amostra, , onde o valor de fornece uma estimativa pontual de μ.



Quando a média da amostra é usada como uma estimativa pontual da média da população, algum erro pode ser esperado devido ao fato de que uma amostra, ou subconjunto da população, é usada para calcular a estimativa pontual. O valor absoluto da diferença entre a média da amostra, , e a média da população, μ, escrita | - μ |, é chamado de erro de amostragem. A estimativa de intervalo incorpora um probabilidade declaração sobre a magnitude do erro de amostragem. A distribuição de amostragem de fornece a base para tal declaração.



Estatísticos mostraram que a média da distribuição amostral de é igual à média da população, μ, e que o desvio padrão é dado por σ /Raiz quadrada de n , onde σ é o desvio padrão da população. O desvio padrão de uma distribuição de amostragem é chamado de erro padrão . Para grandes tamanhos de amostra, o teorema do limite central indica que a distribuição de amostragem de pode ser aproximado por uma distribuição de probabilidade normal. Por uma questão de prática, os estatísticos geralmente consideram as amostras de tamanho 30 ou mais como grandes.



No caso de grande amostra, uma estimativa de intervalo de confiança de 95% para a média da população é dada por ± 1,96σ /Raiz quadrada de n . Quando o desvio padrão da população, σ, é desconhecido, o desvio padrão da amostra é usado para estimar σ na fórmula do intervalo de confiança. A quantidade 1,96σ /Raiz quadrada de n é freqüentemente chamada de margem de erro da estimativa. A quantidade σ /Raiz quadrada de n é o erro padrão e 1,96 é o número de erros padrão da média necessária para incluir 95% dos valores em uma distribuição normal. A interpretação de um intervalo de confiança de 95% é que 95% dos intervalos construídos dessa maneira conterão a média da população. Portanto, qualquer intervalo calculado dessa maneira tem uma confiança de 95% para conter a média da população. Alterando a constante de 1,96 para 1,645, um intervalo de confiança de 90% pode ser obtido. Deve-se notar a partir da fórmula para uma estimativa de intervalo que um intervalo de confiança de 90% é mais estreito do que um intervalo de confiança de 95% e, como tal, tem uma confiança ligeiramente menor de incluir a média da população. Níveis mais baixos de confiança levam a intervalos ainda mais estreitos. Na prática, um intervalo de confiança de 95% é o mais amplamente utilizado.

Devido à presença do n 1/2termo na fórmula para uma estimativa de intervalo, o tamanho da amostra afeta a margem de erro. Tamanhos de amostra maiores levam a margens de erro menores. Esta observação forma a base para os procedimentos usados ​​para selecionar o tamanho da amostra. Os tamanhos das amostras podem ser escolhidos de forma que o intervalo de confiança satisfaça quaisquer requisitos desejados sobre o tamanho da margem de erro.



O procedimento que acabamos de descrever para desenvolver estimativas de intervalo de uma média populacional é baseado no uso de uma grande amostra. No caso de amostra pequena, ou seja, onde o tamanho da amostra n é menor que 30 - o t distribuição é usada ao especificar a margem de erro e construir uma estimativa de intervalo de confiança. Por exemplo, com um nível de confiança de 95%, um valor do t distribuição, determinada pelo valor de n , substituiria o valor de 1,96 obtido na distribuição normal. O t os valores serão sempre maiores, levando a intervalos de confiança mais amplos, mas, conforme o tamanho da amostra se torna maior, o t os valores se aproximam dos valores correspondentes de uma distribuição normal. Com um tamanho de amostra de 25, o t o valor usado seria 2,064, em comparação com o valor da distribuição de probabilidade normal de 1,96 no caso da grande amostra.



Estimativa de outros parâmetros

Para variáveis ​​qualitativas, a proporção da população é um parâmetro de interesse. Uma estimativa pontual da proporção da população é dada pela proporção da amostra. Com o conhecimento da distribuição amostral da proporção da amostra, uma estimativa de intervalo de uma proporção da população é obtida da mesma forma que para uma média da população. Procedimentos de estimativa de ponto e intervalo como esses podem ser aplicados a outra população parametros também. Por exemplo, a estimativa de intervalo de uma variância populacional, desvio padrão e total pode ser necessária em outras aplicações.

Procedimentos de estimativa para duas populações

Os procedimentos de estimativa podem ser estendidos a duas populações para estudos comparativos. Por exemplo, suponha que um estudo esteja sendo realizado para determinar as diferenças entre os salários pagos a uma população de homens e uma população de mulheres. Duas amostras aleatórias simples independentes, uma da população de homens e uma da população de mulheres, forneceriam duas médias de amostra, 1e dois. A diferença entre as duas médias da amostra, 1- dois, seria usado como uma estimativa pontual da diferença entre as duas médias populacionais. A distribuição de amostragem de 1- doisforneceria a base para uma estimativa de intervalo de confiança da diferença entre as duas médias populacionais. Para variáveis ​​qualitativas, estimativas pontuais e de intervalo da diferença entre as proporções da população podem ser construídas considerando a diferença entre as proporções da amostra.



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