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Pergunte a Ethan: Existe uma razão fundamental para que E = mc²?

Albert Einstein em 1920. Embora o próprio Einstein tenha feito muitos avanços na física, desde a relatividade especial e geral até o efeito fotoelétrico e a mecânica estatística, havia muitos problemas que ele não conseguiu resolver durante sua vida. Derivar E = mc² continua sendo sua equação mais famosa. (O ECLIPSE SOLAR DE 29 DE MAIO DE 1919 E O EFEITO EINSTEIN, THE SCIENTIFIC MONTHLY 10:4 (1920))

A física exige que não poderia ser de outra maneira. Aqui está o porquê.

Peça a qualquer um – mesmo alguém sem formação em ciência – para citar algo que Einstein fez, e as chances são de que eles voltem com sua equação mais famosa: E = mc² . Em linguagem simples, nos diz que a energia é igual à massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado, nos ensinando muito sobre o Universo. Esta equação nos diz quanta energia é inerente a uma partícula massiva em repouso e também nos diz quanta energia é necessária para criar partículas (e antipartículas) de energia pura. Ela nos diz quanta energia é liberada em reações nucleares e quanta energia sai de aniquilações entre matéria e antimatéria.

Mas por que? Por que a energia tem que ser igual à massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado? Por que não poderia ter sido de outra forma? É isso que Brad Stuart quer saber, escrevendo para perguntar:

A equação de Einstein é incrivelmente elegante. Mas sua simplicidade é real ou apenas aparente? Faz E = mc² derivam diretamente de uma equivalência inerente entre a energia de qualquer massa e o quadrado da velocidade da luz (o que parece uma coincidência maravilhosa)? Ou a equação só existe porque seus termos são definidos de uma maneira (convenientemente) particular?

É uma ótima pergunta. Vamos investigar a equação mais famosa de Einstein e ver exatamente por que não poderia ter sido de outra forma.

Um motor de foguete movido a energia nuclear, em preparação para testes em 1967. Este foguete é movido pela conversão Massa/Energia, e é sustentado pela famosa equação E=mc². (ECF (EXPERIMENTAL ENGINE COLD FLOW) EXPERIMENTAL NUCLEAR ROCKET ENGINE, NASA, 1967)

Para começar, é importante perceber algumas coisas sobre energia. Energia, especialmente para um não-físico, é uma coisa particularmente difícil de definir. Há muitos exemplos que todos podemos inventar de cabeça.

• Há energia potencial, que é alguma forma de energia armazenada que pode ser liberada. Exemplos incluem energia potencial gravitacional, como levantar uma massa até uma grande altura, energia potencial química, onde a energia armazenada em moléculas como açúcares pode sofrer combustão e ser liberada, ou energia potencial elétrica, onde cargas acumuladas em uma bateria ou capacitor podem ser descarregado, liberando energia.
• Existe a energia cinética, ou a energia inerente a um objeto em movimento devido ao seu movimento.
• Existe a energia elétrica, que é a energia cinética inerente às cargas em movimento e às correntes elétricas.
• Existe a energia nuclear, ou a energia liberada pelas transições nucleares para estados mais estáveis.

E, claro, existem muitos outros tipos. Energia é uma daquelas coisas que todos sabemos quando a vemos, mas para um físico, queremos uma definição mais universal. O melhor que temos é simplesmente: energia extraída/extraível é uma forma de quantificar nossa capacidade de realizar trabalho.

O efeito fotoelétrico detalha como os elétrons podem ser ionizados por fótons com base no comprimento de onda de fótons individuais, não na intensidade da luz ou energia total ou qualquer outra propriedade. Se um quantum de luz entrar com energia suficiente, ele pode interagir e ionizar um elétron, expulsando-o do material e levando a um sinal detectável. Esses fótons carregam energia e realizam trabalho nos elétrons que atingem. (PONOR / WIKIMEDIA COMMONS)

Trabalho, para um físico, tem uma definição particular: uma força exercida na mesma direção em que um objeto é movido, multiplicada pela distância que o objeto se move naquela direção. Levantar uma barra até uma certa altura funciona contra a força da gravidade, aumentando sua energia potencial gravitacional; liberar essa barra levantada converte essa energia potencial gravitacional em energia cinética; a barra batendo no chão converte essa energia cinética em uma combinação de calor, mecânica e energia sonora. A energia não é criada ou destruída em nenhum desses processos, mas sim convertida de uma forma em outra.

A maneira como a maioria das pessoas pensa sobre E = mc² , quando eles aprendem pela primeira vez, é em termos do que chamamos de análise dimensional. Eles dizem, ok, a energia é medida em Joules, e um Joule é um quilograma · metro² por segundo². Então, se queremos transformar massa em energia, você só precisa multiplicar esses quilogramas por algo que é um metro² por segundo², ou um (metro/segundo)², e há uma constante fundamental que vem com unidades de metros/segundo: a velocidade de luz, ou c . É uma coisa razoável de se pensar, mas isso não é suficiente.

Esses quatro painéis mostram a explosão do teste Trinity, a primeira bomba nuclear (de fissão) do mundo, nos respectivos 16, 25, 53 e 100 milissegundos após a ignição. As temperaturas mais altas ocorrem nos primeiros momentos de ignição, antes que o volume da explosão aumente drasticamente. (FUNDAÇÃO DO PATRIMÔNIO ATÔMICO)

Afinal, você pode medir qualquer velocidade que desejar em unidades de metros/segundo, não apenas a velocidade da luz. Além disso, não há nada que impeça a natureza de exigir uma constante de proporcionalidade - um fator multiplicativo como ½, ¾, 2π, etc. - para tornar a equação verdadeira. Se quisermos entender por que a equação deve ser E = mc² , e por que nenhuma outra possibilidade é permitida, temos que imaginar uma situação física que poderia dizer a diferença entre várias interpretações. Essa ferramenta teórica, conhecida como experimento mental ou experimento mental, foi uma das grandes ideias que Einstein trouxe de sua própria cabeça para o mainstream científico.

O que podemos fazer é imaginar que há alguma energia inerente a uma partícula devido à sua massa de repouso e energia adicional que ela pode ter devido ao seu movimento: energia cinética. Podemos imaginar iniciar uma partícula no alto de um campo gravitacional, como se ela tivesse começado com uma grande quantidade de energia potencial gravitacional, mas em repouso. Quando você a solta, essa energia potencial se converte em energia cinética, enquanto a energia de massa restante permanece a mesma. No momento imediatamente anterior ao impacto com o solo, não restará energia potencial: apenas energia cinética e a energia inerente à sua massa de repouso, seja ela qual for.

Se você tiver uma partícula (ou um par partícula-antipartícula) em repouso acima da superfície da Terra, em laranja, ela não terá energia cinética, mas sim muita energia potencial. Se a partícula ou sistema for então liberada e cair livremente, ela ganhará energia cinética à medida que a energia potencial for transformada em energia de movimento. Este experimento mental é uma maneira de demonstrar a insuficiência da relatividade especial. (RAY SHAPP / MIKE LUCIUK; E. SIEGEL)

Agora, com essa imagem em nossas cabeças - que há alguma energia inerente à massa de repouso de uma partícula e que a energia potencial gravitacional pode ser convertida em energia cinética (e vice-versa) - vamos jogar mais uma ideia: que todas as partículas têm um contraparte antipartícula, e se os dois colidirem, eles podem aniquilar em pura energia.

(Certo, E = mc² nos diz a relação entre massa e energia, incluindo quanta energia você precisa para criar pares partícula-antipartícula do nada e quanta energia você obtém quando os pares partícula-antipartícula se aniquilam. Mas ainda não sabemos disso; queremos estabelecer que este deve ser o caso!)

Então, vamos imaginar, agora, que em vez de ter uma partícula no alto de um campo gravitacional, imagine que temos uma partícula e uma antipartícula no alto de um campo gravitacional, prontas para cair. Vamos configurar dois cenários diferentes para o que pode acontecer e explorar as consequências de ambos.

A produção de pares de matéria/antimatéria (à esquerda) a partir de energia pura é uma reação completamente reversível (à direita), com a aniquilação de matéria/antimatéria de volta à energia pura. Para muitos sistemas de partículas, no entanto, a reversibilidade não é garantida. (DMITRI POGOSYAN / UNIVERSIDADE DE ALBERTA)

Cenário 1: a partícula e a antipartícula caem e se aniquilam no instante em que atingem o solo . Esta é a mesma situação que acabamos de pensar, exceto em dobro. Tanto a partícula quanto a antipartícula começam com uma certa quantidade de energia de massa de repouso. Não precisamos saber a quantidade, simplesmente isso é qualquer que seja a quantidade, é igual para a partícula e a antipartícula, já que todas as partículas têm massas idênticas às suas contrapartes antipartículas.

Agora, ambos caem, convertendo sua energia potencial gravitacional em energia cinética, que é um acréscimo à sua energia de massa de repouso. Assim como aconteceu antes, no instante antes de atingir o solo, toda a sua energia está em apenas duas formas: sua energia de massa de repouso e sua energia cinética. Só que, desta vez, no momento do impacto, eles se aniquilam, transformando-se em dois fótons cuja energia combinada deve ser igual a qualquer que seja a energia da massa de repouso mais a energia cinética tanto para a partícula quanto para a antipartícula.

Para um fóton, no entanto, que não tem massa, a energia é simplesmente dada pelo seu momento multiplicado pela velocidade da luz: E = pc . Qualquer que seja a energia de ambas as partículas antes de atingirem o solo, a energia desses fótons deve ser igual ao mesmo valor total.

Se você aniquilasse um par partícula-antipartícula em energia pura (dois fótons) com muita energia potencial gravitacional, apenas a energia da massa restante (laranja) é convertida em energia do fóton. Se você soltar essa partícula e antipartícula em direção à superfície da Terra, e apenas permitir que eles aniquilem pouco antes do impacto, eles teriam significativamente mais energia e produziriam fótons mais azuis e energéticos. (RAY SHAPP / MIKE LUCIUK; E. SIEGEL)

Cenário 2: a partícula e a antipartícula se aniquilam em energia pura e depois caem o resto do caminho até o solo como fótons, com massa de repouso zero . Agora, vamos imaginar um cenário quase idêntico. Começamos com a mesma partícula e antipartícula, no alto de um campo gravitacional. Só que, desta vez, quando os liberamos e permitimos que caiam, eles se aniquilam em fótons imediatamente: a totalidade de sua energia de massa de repouso é transformada na energia desses fótons.

Pelo que aprendemos antes, isso significa a energia total desses fótons, onde cada um tem uma energia de E = pc , deve ser igual à energia de massa de repouso combinada da partícula e da antipartícula em questão.

Agora, vamos imaginar que esses fótons eventualmente descem para a superfície do mundo em que estão caindo, e medimos suas energias quando atingem o solo. Pela conservação de energia, eles devem ter uma energia total igual à energia dos fótons do cenário anterior. Isso prova que os fótons devem ganhar energia à medida que caem em um campo gravitacional, levando ao que conhecemos como desvio para o azul gravitacional, mas também leva a algo espetacular: a noção de que E = mc² é o que a massa de repouso de uma partícula (ou antipartícula) deve ser.

Quando um quantum de radiação deixa um campo gravitacional, sua frequência deve ser desviada para o vermelho para conservar energia; quando ele cai, ele deve ser deslocado para o azul. Somente se a própria gravitação estiver ligada não apenas à massa, mas também à energia, isso fará sentido. O redshift gravitacional é uma das principais previsões da Relatividade Geral de Einstein, mas só recentemente foi testado diretamente em um ambiente de campo forte como o nosso centro galáctico. (VLAD2I E MAPOS / WIKIPÉDIA INGLESA)

Há apenas uma definição de energia que podemos usar que se aplica universalmente a todas as partículas – massivas e sem massa, igualmente – que permite que o cenário #1 e o cenário #2 nos dêem respostas idênticas: E = √( m²c⁴ + p²c² ). Pense no que acontece aqui sob uma variedade de condições.

• Se você é uma partícula massiva em repouso, sem momento, sua energia é apenas √( m²c⁴ ), que se torna E = mc² .
• Se você é uma partícula sem massa, você deve estar em movimento e sua massa de repouso é zero, então sua energia é apenas √( p²c² ), ou E = pc .
• Se você é uma partícula massiva e está se movendo devagar em comparação com a velocidade da luz, então você pode aproximar seu momento por p = m v , e assim sua energia se torna √( m²c⁴ + m²v²c² ). Você pode reescrever isso como E = mc² · √(1 + v²/c² ), desde que v é pequena em comparação com a velocidade da luz.

Se você não reconhece esse último termo, não se preocupe. Você pode realizar o que é conhecido, matematicamente, como um Expansão em série de Taylor , onde o segundo termo entre parênteses é pequeno comparado ao 1 que compõe o primeiro termo. Se você fizer isso, você vai conseguir isso E = mc² · [1 + ½( v²/c² ) + …], onde se você multiplicar pelos dois primeiros termos, você obtém E = mc² + ½mv² : a massa de repouso mais a fórmula não relativística da velha escola para a energia cinética.

Um fóton viajando em uma caixa, atingindo a caixa e sendo reemitido na direção oposta é uma configuração suficiente, juntamente com a estipulação de que a energia e o momento devem ser conservados, para derivar a equação mais famosa de Einstein: E = mc². (E. SIEGEL)

Esta não é absolutamente a única maneira de derivar E = mc² , mas é minha maneira favorita de olhar para o problema. Três outras maneiras podem ser encontradas três aqui , aqui e aqui , com algumas boas fundo aqui sobre como Einstein originalmente fez isso sozinho. Se eu tivesse que escolher minha segunda maneira favorita de derivar isso E = mc² para uma partícula massiva em repouso, seria considerar um fóton – que sempre carrega energia e momento – viajando em uma caixa estacionária com um espelho na extremidade para a qual está viajando.

Quando o fóton atinge o espelho, ele é temporariamente absorvido e a caixa (com o fóton absorvido) precisa ganhar um pouco de energia e começar a se mover na direção em que o fóton estava se movendo: a única maneira de conservar energia e momento .

Quando o fóton é reemitido, ele está se movendo na direção oposta e, portanto, a caixa (tendo perdido um pouco de massa ao reemitir esse fóton) precisa avançar um pouco mais rapidamente para conservar energia e momento.

Ao considerar essas três etapas, mesmo que haja muitas incógnitas, há muitas equações que sempre devem corresponder: entre todos os três cenários, a energia total e o momento total devem ser equivalentes. Se você resolver essas equações, há apenas uma definição de energia de massa em repouso que funciona: E = mc² .

Einstein derivou a relatividade especial, para um público de espectadores, em 1934. As consequências de aplicar a relatividade aos sistemas corretos exigem que, se exigimos conservação de energia, E = mc² deve ser válido. (IMAGEM DE DOMÍNIO PÚBLICO)

Você pode imaginar que o Universo poderia ter sido muito diferente daquele que habitamos. Talvez a energia não precisasse ser conservada; se assim fosse, E = mc² não precisaria ser uma fórmula universal para a massa de repouso. Talvez pudéssemos violar a conservação do momento; em caso afirmativo, nossa definição para energia total - E = √( m²c⁴ + p²c² ) — não seria mais válido. E se a Relatividade Geral não fosse nossa teoria da gravidade, ou se o momento e a energia de um fóton não estivessem relacionados por E = pc , então E = mc² não seria uma relação universal para partículas massivas.

Mas em nosso Universo, a energia é conservada, o momento é conservado e a Relatividade Geral é nossa teoria da gravitação. Dados esses fatos, tudo o que se precisa fazer é pensar na configuração experimental adequada. Mesmo sem realizar fisicamente o experimento por si mesmo e medir os resultados, você pode derivar a única resposta autoconsistente para a energia de massa de repouso de uma partícula: apenas E = mc² faz o trabalho. Podemos tentar imaginar um Universo onde energia e massa tenham alguma outra relação, mas seria muito diferente da nossa. Não é meramente uma definição conveniente; é a única maneira de conservar energia e momento com as leis da física que temos.

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Começa com um estrondo é escrito por Ethan Siegel , Ph.D., autor de Além da Galáxia , e Treknology: A ciência de Star Trek de Tricorders a Warp Drive .

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