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Por que F = ma é a equação mais importante da física

Ao descrever qualquer objeto sob a ação de uma força externa, a famosa F = ma de Newton é a equação que descreve como seu movimento evoluirá com o tempo. Embora seja uma afirmação aparentemente simples e uma equação aparentemente simples, há um universo inteiro para explorar codificado nessa relação aparentemente direta. (Crédito: Dieterich01/Pixabay)

• O que parece ser uma simples equação de três letras contém uma enorme quantidade de informações sobre o nosso Universo.
• A física dentro dele é vital para a compreensão de todo o movimento, enquanto a matemática é a aplicação mais importante do cálculo à nossa realidade.
• Pensando bem, essa equação pode até nos levar à relatividade, e permanece eternamente útil para físicos de todos os níveis.

Se há uma equação que as pessoas aprendem sobre física – e não, não a de Einstein E = m^dois - é de Newton F = m para . Apesar do fato de estar em uso generalizado há cerca de 350 anos, desde que Newton o apresentou pela primeira vez no final do século XVII, raramente faz parte da lista das equações mais importantes. No entanto, é o que os alunos de física aprendem mais do que qualquer outro no nível introdutório, e continua importante à medida que avançamos: através de nossos cursos de graduação, pós-graduação, em física e engenharia, e mesmo quando passamos para engenharia, cálculo , e alguns conceitos muito intensos e avançados.

F = m para , apesar de sua aparente simplicidade, continua fornecendo novos insights para quem a estuda, e tem feito isso há séculos. Parte da razão pela qual é tão subvalorizada é porque é tão onipresente: afinal, se você vai aprender alguma coisa sobre física, vai aprender sobre Newton, e essa mesma equação é a afirmação-chave da segunda lei de Newton. Além disso, são apenas três parâmetros – força, massa e aceleração – relacionados por meio de um sinal de igual. Embora possa parecer muito pouco, a verdade é que existe um mundo fantástico da física que se abre quando você investiga as profundezas do mundo. F = m para . Vamos mergulhar.

Isoladamente, qualquer sistema, seja em repouso ou em movimento, incluindo movimento angular, será incapaz de alterar esse movimento sem uma força externa. No espaço, suas opções são limitadas, mas mesmo na Estação Espacial Internacional, um componente (como um astronauta) pode empurrar outro (como outro astronauta) para alterar o movimento do componente individual: a marca registrada das leis de Newton em todas as suas encarnações. (Crédito: NASA/Estação Espacial Internacional)

O básico

A primeira vez que você obtém uma equação como F = m para , é simples tratá-lo da mesma maneira que você trataria uma equação para uma linha em matemática. Além disso, parece que é um pouco mais simples: em vez de uma equação como y = mx + b , por exemplo, que é a fórmula matemática clássica para uma linha, não há b lá em tudo.

Por que é que?

Porque isso é física, não matemática. Nós apenas escrevemos equações que são fisicamente consistentes com o Universo, e qualquer b que não é zero levaria a um comportamento patológico na física. Lembre-se de que Newton apresentou três leis de movimento descrevendo todos os corpos:

1. Um objeto em repouso permanece em repouso e um objeto em movimento permanece em movimento constante, a menos que uma força externa aja sobre ele.
2. Um objeto acelerará na direção de qualquer força resultante aplicada a ele e acelerará com uma magnitude dessa força dividida pela massa do objeto.
3. Qualquer ação – e uma força é um exemplo de ação – deve ter uma reação igual e oposta. Se algo exerce uma força sobre qualquer objeto, esse objeto exerce uma força igual e oposta sobre a coisa que o empurra ou puxa.

A primeira lei é a razão pela qual a equação é F = m para e não F = m para + b , porque de outra forma os objetos não poderiam permanecer em movimento constante na ausência de forças externas.

Um objeto em repouso permanecerá em repouso, a menos que uma força externa aja sobre ele. Como resultado dessa força externa, a xícara de café não está mais em repouso. ( Crédito : gfpeck/flickr)

Essa equação, então, F = m para , tem três significados associados a ela, pelo menos no sentido físico e sem desvendar o que significa uma força, uma massa ou uma aceleração.

• Se você pode medir a massa do seu objeto e como ele está acelerando, você pode usar F = m para para determinar a força resultante que atua sobre o objeto.
• Se você puder medir a massa de seu objeto e souber (ou puder medir) a força resultante aplicada a ele, poderá determinar como esse objeto acelerará. (Isso é particularmente útil quando se deseja determinar como um objeto acelerará sob a influência da gravidade.)
• Se você puder medir ou conhecer a força resultante em um objeto e como ele está acelerando, poderá usar essas informações para determinar a massa do objeto.

Qualquer equação com três variáveis ​​conectadas assim – onde uma variável está em um lado da equação e as outras duas são multiplicadas no outro lado – se comporta exatamente como tal. Outros exemplos famosos incluem a lei de Hubble para o Universo em expansão, que é v = H r (a velocidade de recessão é igual à constante de Hubble multiplicada pela distância) e a Lei de Ohm, que é V = IR (tensão é igual à corrente multiplicada pela resistência).

Podemos pensar em F = m para de duas outras maneiras que são equivalentes: F /m = para e F / para = m . Embora seja apenas manipulação algébrica obter essas outras equações do original, é um exercício útil para ensinar os alunos introdutórios a resolver uma incógnita usando as relações físicas e as quantidades conhecidas que possuímos.

Neste composto de stop-motion, um homem começa em repouso e acelera exercendo uma força entre seus pés e o solo. Se dois dos três de força, massa e aceleração são conhecidos, você pode encontrar a quantidade que falta aplicando corretamente F = ma de Newton. ( Crédito : rmathews100/Pixabay)

Mais avancado

A maneira de tomar F = m para para o próximo nível é simples e direto, mas também profundo: é perceber o que significa aceleração. Uma aceleração é uma mudança na velocidade ( v ) ao longo do tempo ( t ), e isso pode ser uma aceleração média, como levar seu carro de 0 a 60 mph (aproximadamente o mesmo que ir de 0 a 100 km/h), ou uma aceleração instantânea, que pergunta sobre sua aceleração em um determinado momento no Tempo. Normalmente expressamos isso como para = Δ v /Δt , onde o Δ símbolo representa uma mudança entre um valor final e um valor inicial, ou como para = d v /DT , onde o d denota uma mudança instantânea.

Da mesma forma, a velocidade em si é uma mudança na posição ( x ) ao longo do tempo, para que possamos escrever v = Δ x /Δt para uma velocidade média, e v = d x /DT para uma velocidade instantânea. A relação entre posição, velocidade, aceleração, força, massa e tempo é profunda – é algo que os cientistas intrigaram por décadas, gerações e até séculos antes que as equações básicas dos movimentos fossem escritas com sucesso no século XVII.

Além disso, você notará que algumas das letras estão em negrito: x , v , para , e F . Isso porque não são apenas quantidades; são quantidades com direções associadas a elas. Dado que vivemos em um universo tridimensional, cada uma dessas equações com uma quantidade em negrito são na verdade três equações: uma para cada uma das três dimensões (por exemplo, x , e , e com direções) presentes em nosso Universo.

O fato de F = ma ser uma equação tridimensional nem sempre leva a complicações surgindo entre as dimensões. Aqui, uma bola sob a influência da gravidade acelera apenas na direção vertical; seu movimento horizontal permanece constante, desde que a resistência do ar e a perda de energia do impacto no solo sejam desprezadas. ( Crédito : MichaelMaggs Editado por Richard Bartz/Wikimedia Commons)

Uma das coisas notáveis ​​sobre esses conjuntos de equações é que eles são todos independentes uns dos outros.

O que acontece no x -direção - em termos de força, posição, velocidade e aceleração - afeta apenas os outros componentes do x -direção. O mesmo se aplica ao e -e- com -direções também: O que acontece nessas direções afeta apenas essas direções. Isso explica por que, quando você acerta uma bola de golfe na Lua, a gravidade só afeta seu movimento na direção para cima e para baixo, não na direção de um lado para o outro. A bola continuará, constantemente, com seu movimento inalterado; é um objeto em movimento sem forças externas nessa direção .

Podemos estender esse movimento de várias maneiras poderosas. Em vez de tratar objetos como se fossem massas pontuais idealizadas, podemos considerar massas que são objetos estendidos. Em vez de tratar objetos que se movem apenas em linhas, acelerando a uma taxa constante em uma ou mais direções, podemos tratar objetos que orbitam e giram. Através deste procedimento, podemos começar a discutir conceitos como torque e momento de inércia, bem como posição angular, velocidade angular e aceleração angular. As leis e equações de movimento de Newton ainda se aplicam aqui, pois tudo nesta discussão pode ser derivado dessa mesma equação central: F = m para .

O fato de que as estruturas do Universo exercem forças umas sobre as outras à medida que se movem, e que essas estruturas são objetos estendidos em vez de fontes pontuais, pode levar a torques, acelerações angulares e movimentos rotacionais. A aplicação de F = ma a sistemas complexos é suficiente, por si só, para explicar isso. ( Crédito : K. Kraljic, Astronomia da Natureza, 2021)

Cálculo e Taxas

Há uma importante realidade física sobre a qual estamos dançando, mas é hora de enfrentá-la diretamente: o conceito de taxa. A velocidade é a taxa na qual sua posição muda. É uma distância ao longo do tempo, ou uma mudança na distância ao longo de uma mudança no tempo, e é por isso que tem unidades como metros por segundo ou milhas por hora. Da mesma forma, a aceleração é a taxa na qual sua velocidade muda. É uma mudança na velocidade ao longo de uma mudança no tempo, e é por isso que tem unidades como metros por segundo^dois: porque é uma velocidade (metros por segundo) ao longo de um tempo (por segundo).

Se você sabe

• onde algo está agora
• que horas são agora
• quão rápido ele está se movendo agora
• quais forças estão e estarão agindo sobre ele

Então você pode prever o que ele fará no futuro. Isso significa que podemos prever onde ele estará a qualquer momento, inclusive arbitrariamente no futuro, desde que tenhamos poder computacional ou de cálculo suficiente à nossa disposição. As equações de Newton são inteiramente determinísticas, portanto, se pudermos medir ou saber quais são as condições iniciais de um objeto em algum momento, e soubermos como esse objeto experimentará forças ao longo do tempo, podemos prever com precisão onde ele terminará.

Embora o movimento planetário possa parecer simples, é governado por uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona força e aceleração. A dificuldade em resolver esta equação não deve ser subestimada, mas também não deve ser subestimado o poder de F = ma de Newton para explicar uma enorme variedade de fenômenos no Universo. (Crédito: J. Wang (UC Berkeley) & C. Marois (Herzberg Astrophysics), NExSS (NASA), Keck Obs.)

É assim que prevemos o movimento planetário e as chegadas de cometas, avaliamos os asteroides quanto ao seu potencial para atingir a Terra e planejamos missões à Lua. Em seu núcleo, F = m para é o que chamamos de equação diferencial, e uma equação diferencial de segunda ordem. (Por quê? Porque segunda ordem significa que tem uma segunda derivada do tempo: a aceleração é uma mudança na velocidade sobre uma mudança no tempo, enquanto a velocidade é uma mudança na posição sobre uma mudança no tempo.) As equações diferenciais são seu próprio ramo. da matemática, e as melhores descrições que conheço delas são duas:

• Uma equação diferencial é uma equação que lhe diz, supondo que você saiba o que seu objeto está fazendo agora, o que ele fará no momento seguinte. Então, quando esse momento seguinte tiver decorrido, essa mesma equação lhe diz o que ocorrerá no momento subsequente, e assim por diante, até o infinito.
• No entanto, a maioria das equações diferenciais que existem não podem ser resolvidas com exatidão; podemos apenas aproximá-los. Além disso, a maioria das equações diferenciais que podem ser resolvidas não podem ser resolvidas por nós, e por nós quero dizer físicos teóricos e matemáticos profissionais. Essas coisas são difíceis.

F = m para é uma daquelas equações diferenciais muito difíceis. E, no entanto, as circunstâncias comparativamente simples sob as quais podemos resolvê-lo são incrivelmente educativas. Esse fato está subjacente a grande parte do trabalho que fizemos em física teórica por séculos, um fato que permanece verdadeiro até hoje.

Uma visão animada de como o espaço-tempo responde à medida que uma massa se move através dele ajuda a mostrar exatamente como, qualitativamente, não é apenas uma folha de tecido, mas todo o espaço se curva pela presença e propriedades da matéria e energia dentro do Universo. Observe que o espaço-tempo só pode ser descrito se incluirmos não apenas a posição do objeto massivo, mas também onde essa massa está localizada ao longo do tempo. Tanto a localização instantânea quanto a história passada de onde esse objeto estava localizado determinam as forças experimentadas pelos objetos que se movem pelo Universo, tornando o conjunto de equações diferenciais da Relatividade Geral ainda mais complicado do que o de Newton. ( Crédito : Lucas VB)

Isso nos leva a Rockets e Relativity

Este é um daqueles, hein, o quê? momentos para a maioria das pessoas quando eles aprendem sobre isso. Acontece que todo esse tempo, professores de física têm contado uma pequena mentira sobre F = m para .

A mentira?

O próprio Newton nunca o escreveu ou formulou assim de forma alguma. Ele nunca disse que força é igual a massa vezes aceleração. Em vez disso, disse ele, a força é a taxa de tempo de variação do momento, onde o momento é o produto da massa pela velocidade.

Essas duas afirmações não são iguais. F = m para diz a você que a força, que ocorre em alguma direção, leva a uma aceleração de massas: uma velocidade variável ao longo do tempo para cada massa que experimenta uma força. Momentum, que os físicos não intuitivamente (para falantes de inglês) representam com a letra p , é o produto da massa pela velocidade: p = m v .

Você pode ver a diferença? Se mudarmos o momento ao longo do tempo, seja com momento médio ( Δ p /Δt ) ou com momento instantâneo ( d p /DT ), nos deparamos com um problema. Escrevendo F = m para faz a suposição de que a massa não muda; apenas mudanças de velocidade. Isso não é universalmente verdade, no entanto, e as duas grandes exceções foram marcas registradas dos avanços do século 20.

Esta fotografia mostra o lançamento em 2018 do foguete Electron da Rocket Lab decolando do Complexo de Lançamento 1 na Nova Zelândia. Os foguetes convertem combustível em energia e empuxo, expelindo-o e perdendo massa à medida que aceleram. Como resultado, F = ma é muito simplificado para ser usado para calcular a aceleração de um foguete. ( Crédito : Trevor Mahlmann/Rocket Lab)

Uma é a ciência dos foguetes, já que os foguetes perdem ativamente sua massa (queimando-a e expelindo-a como exaustão) à medida que aceleram ativamente. De fato, a massa variável, também versão da equação, onde tanto a velocidade quanto a massa podem variar ao longo do tempo, é conhecida por muitos simplesmente como a equação do foguete. Quando uma perda ou ganho de massa está ocorrendo, isso afeta o movimento de seus objetos e também como esse movimento muda ao longo do tempo. Sem a matemática do cálculo e das equações diferenciais, e sem a física de como objetos como esse se comportam na vida real, seria impossível calcular o comportamento de uma espaçonave movida a propelente.

A outra é a ciência da relatividade especial, que se torna importante quando os objetos se movem perto da velocidade da luz. Se você usar as equações de movimento de Newton, e a equação F = m para para calcular como a posição e a velocidade de um objeto mudam quando você aplica uma força a ele, você pode calcular incorretamente as condições que levam seu objeto a exceder a velocidade da luz. Se, no entanto, você usar F = (d p /DT) como sua lei de força - da maneira como o próprio Newton a escreveu - então, desde que você se lembre de usar o momento relativístico (onde você adiciona um fator de o relativista γ : p = mγ v ), você descobrirá que as leis da relatividade especial, incluindo a dilatação do tempo e a contração do comprimento, aparecem naturalmente.

Esta ilustração de um relógio de luz mostra como, quando você está em repouso (à esquerda), um fóton viaja para cima e para baixo entre dois espelhos na velocidade da luz. Quando você é impulsionado (movendo-se para a direita), o fóton também se move na velocidade da luz, mas leva mais tempo para oscilar entre o espelho inferior e o superior. Como resultado, o tempo é dilatado para objetos em movimento relativo em comparação com objetos estacionários. ( Crédito : John D. Norton/Universidade de Pittsburgh)

Muitos especularam, com base nessa observação e no fato de que Newton poderia facilmente ter escrito F = m para ao invés de F = (d p /DT) , que talvez Newton tenha antecipado a relatividade especial: uma afirmação impossível de refutar. No entanto, independentemente do que estava acontecendo na cabeça de Newton, é inegável que há uma tremenda toca de coelho de insights sobre o funcionamento do nosso Universo – juntamente com o desenvolvimento de ferramentas inestimáveis ​​para a resolução de problemas – embutidos na equação aparentemente simples por trás da segunda lei de Newton. : F = m para .

A idéia de forças e acelerações entrará em jogo cada vez que uma partícula se move através do espaço-tempo curvo; toda vez que um objeto experimenta um empurrão, puxão ou interação forçada com outra entidade; e toda vez que um sistema faz outra coisa além de permanecer em repouso ou em movimento constante e imutável. Mesmo que Newton F = m para não é universalmente verdadeiro em todas as circunstâncias, seu tremendo alcance de validade, os profundos insights físicos que contém e as inter-relações que codifica entre sistemas simples e complexos garantem seu status como uma das equações mais importantes em toda a física. Se você vai ensinar apenas uma equação de física para alguém, faça esta. Com bastante esforço, você pode usá-lo para decodificar o funcionamento de quase todo o Universo.

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