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Todos nós aprendemos o maior mito da física: que os projéteis fazem uma parábola

O astrônomo e cientista italiano Galileu Galilei (1564–1642) realiza seu lendário experimento, soltando uma bala de canhão e uma bola de madeira do topo da Torre Inclinada de Pisa, por volta de 1620. Isso foi projetado para provar aos aristotélicos que objetos de diferentes pesos caem na mesma velocidade, mas acabou demonstrando uma série de importantes princípios físicos. (Hulton Archive/Getty Images)

É uma aproximação incrivelmente útil. Mas a verdade nos leva muito mais fundo.

Qualquer um que já fez um curso de física aprendeu o mesmo mito há séculos: que qualquer objeto lançado, atirado ou disparado no campo gravitacional da Terra traçará uma parábola antes de atingir o solo. Se você negligenciar forças externas como vento, resistência do ar ou quaisquer outros objetos terrestres, essa forma parabólica descreve como o centro de massa do seu objeto se move com extrema precisão, não importa o que seja ou o que mais esteja em jogo.

Mas sob as leis da gravidade, uma parábola é uma forma impossível para um objeto que está gravitacionalmente ligado à Terra. A matemática simplesmente não funciona. Se pudéssemos projetar um experimento suficientemente preciso, mediríamos que os projéteis na Terra fazem pequenos desvios do caminho parabólico previsto que todos derivamos em aula: microscópico na escala de um humano, mas ainda significativo. Em vez disso, objetos lançados na Terra traçam uma órbita elíptica semelhante à Lua. Aqui está o motivo inesperado.

Se a aceleração gravitacional da Terra sempre apontasse exatamente “para baixo”, a forma de um projétil na Terra sempre faria uma parábola. Mas dado que a Terra é curva e a aceleração gravitacional é orientada em direção ao seu centro, isso não pode ser exatamente verdade. (Cmglee / Wikimedia Commons)

Se você quiser modelar o campo gravitacional na superfície da Terra, há duas suposições simplificadas que você pode fazer:

1. a Terra, pelo menos em sua vizinhança, é plana em vez de curva,
2. e que o campo gravitacional da Terra pontos direto para baixo em relação à sua localização atual.

Toda vez que você joga e solta um objeto, portanto, ele entra em uma situação conhecida como queda livre. Nas direções paralelas à superfície da Terra (horizontal), a velocidade de qualquer projétil permanecerá constante. Nas direções perpendiculares à superfície da Terra (vertical), no entanto, seu projétil acelerará para baixo a 9,8 m/s²: a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Se você fizer essas suposições, a trajetória calculada sempre será uma parábola, exatamente o que aprendemos nas aulas de física ao redor do mundo.

Uma ilustração do Canhão de Newton, que dispara um projétil em velocidades de subescape (A-D) e maior que a velocidade de escape (E). Para as trajetórias A e B, a Terra está no caminho, impedindo-nos de ver a forma completa da trajetória de um projétil. (Usuário do Wikimedia Commons, Brian Brondel)

Mas nenhuma dessas suposições é verdadeira. A Terra pode parecer plana - tão indistinguível de plana que não podemos detectá-la nas distâncias que a maioria dos projéteis cobre - mas a realidade é que ela tem uma forma esferoidal. Mesmo em distâncias de apenas alguns metros, a diferença entre uma Terra perfeitamente plana e uma Terra curva entra em jogo no nível de 1 parte em 1.000.000.

Essa aproximação não importa tanto para a trajetória de um projétil individual, mas a segunda aproximação sim. De qualquer local ao longo de seu caminho, um projétil não é realmente acelerado para baixo na direção vertical, mas em direção ao centro da Terra. Na mesma distância de alguns metros, a diferença de ângulo entre a linha reta para baixo e em direção ao centro da Terra também entra em jogo no nível de 1 parte em 1.000.000, mas este faz a diferença.

Se a Terra fosse perfeitamente plana e a aceleração, em todos os lugares, fosse para baixo, todos os projéteis formariam uma parábola. Mas para projéteis reais (exagerado, à direita), a aceleração é sempre em direção ao centro da Terra, o que significa que a trajetória deve ser uma parte de uma elipse, em vez de uma parábola. (James Tanton/Twitter)

Para um sistema típico, como uma bola de futebol chutada, uma bola de futebol arremessada ou mesmo um home run no beisebol, os desvios de uma parábola aparecerão no nível de dezenas a talvez cem mícrons: menores que um único paramécio. Mas a verdadeira trajetória é fascinante, e algo derivado por Johannes Kepler mais de meio século antes de Newton aparecer.

Assim como a Lua, qualquer projétil traça uma órbita elíptica, com o centro da Terra como um dos focos dessa elipse. A única dificuldade para um projétil na Terra, ao contrário da Lua, é que a própria Terra atrapalha. Como resultado, vemos apenas uma pequena porção da elipse: a parte que se eleva ligeiramente acima da superfície da Terra, atinge o pico de sua trajetória (conhecida como afélio na mecânica celeste) e depois cai de volta ao centro da Terra.

Enquanto um projétil age apenas sob a influência da gravidade, parece fazer uma parábola, mas esta é apenas uma pequena parte do que é na verdade uma elipse, com o centro da Terra como um foco. Se a força eletromagnética fosse desligada, a bola completaria esse caminho aproximadamente elíptico em ~ 90 minutos. (Usuário do Wikimedia Commons MichaelMaggs; Editado por Richard Bartz)

Assim que a superfície da Terra fica no caminho, no entanto, o problema se reinicia mais uma vez. Se o projétil quicar, ele criará um fragmento de elipse inteiramente novo para sua trajetória seguir, que novamente pode ser muito bem aproximado por uma parábola.

Isso acontece por uma razão simples que normalmente damos como certa: a Terra é feita do mesmo tipo de material, matéria normal, de que um projétil típico é feito. A matéria normal, que normalmente consiste em prótons, nêutrons e elétrons, não experimenta apenas a força gravitacional, mas também as forças nucleares e eletromagnéticas. É a força eletromagnética que causa as interações típicas que experimentamos entre as partículas, permitindo colisões elásticas e inelásticas e impedindo que nossos projéteis simplesmente deslizem pela Terra.

Se uma partícula de matéria escura voasse com uma velocidade comparável à velocidade de um próton dentro do seu corpo, ela formaria uma órbita aproximadamente elíptica com o centro da Terra como um foco. Como não interagiria com a matéria, simplesmente passaria pela Terra sólida tão facilmente como se fosse um espaço vazio. (Ron Kurtus / Escola de Campeões / http://www.school-for-champions.com/science/gravity_newtons_cannon.htm )

Podemos contornar esse problema, no entanto, imaginando que temos algo que não interage com a matéria normal como nosso projétil. Talvez possa ser um neutrino de baixa energia; talvez pudesse ser um aglomerado de matéria escura. Em ambos os casos, esse projétil, uma vez lançado, experimentaria apenas a força gravitacional e passaria pela superfície e pelo interior da própria Terra sob apenas a força da gravidade.

Se você esperava que essa partícula fizesse uma elipse fechada, no entanto, e retornasse à sua localização original cerca de 90 minutos depois, de volta à superfície da Terra de onde foi lançada pela primeira vez, você foi e fez outra aproximação que é não está certo. Quando calculamos as trajetórias orbitais, tratamos a Terra como um único ponto: onde toda a sua massa está localizada diretamente em seu centro. Quando calculamos as trajetórias de satélites, estações espaciais e até mesmo da Lua, isso funciona muito bem. Mas para uma partícula que passa pela superfície da Terra, essa aproximação não serve mais.

Gravidade da Terra de acordo com o Preliminary Reference Earth Model (PREM). A aceleração tem seu máximo em 0,5463 raios terrestres (~ 3481 km, ou seja, 2890 km abaixo da superfície) e um valor de 10,66 m/s². Isso se deve às densidades variadas das diferentes camadas da Terra, incluindo diferenças graduais dentro das camadas individuais. (AllenMcC. / Wikimedia Commons)

Enquanto você estiver fora de uma massa que tem a forma de uma esfera (ou esferóide), toda essa massa atrai gravitacionalmente você para o centro do objeto. Mas se você está apenas fora de parte dessa massa (e apenas parte dela está mais próxima do centro do mundo do que você), então todas as partes dessa massa que estão fora de sua localização atual se cancelam.

Você só pode sentir o efeito gravitacional da massa que está dentro de você, supondo que tudo externo à sua posição seja esfericamente simétrico. No eletromagnetismo, isso é consequência da Lei de Gauss; na física gravitacional, é uma consequência do (relacionado) teorema de Birkhoff. Mas o que isso significa praticamente é que, uma vez que você começa a cair pela Terra, você experimenta cada vez menos a força gravitacional da massa interna.

Essas ilustrações em corte da Terra e de Marte mostram algumas semelhanças convincentes entre nossos dois mundos. Ambos têm crostas, mantos e núcleos ricos em metais, mas o tamanho muito menor de Marte significa que ambos contêm menos calor em geral e o perdem a uma taxa maior (por porcentagem) do que a Terra. Passar pelo interior da Terra faria com que sua trajetória mudasse um pouco à medida que você passasse de uma camada para outra. (NASA/JPL-Caltech)

Em vez de uma elipse, portanto, sua trajetória mudaria lentamente para uma forma mais oval, semelhante a um ovo. À medida que você passasse pela crosta e manto menos densos e se dirigisse para os núcleos interno e externo, você notaria que não havia apenas mudanças suaves, mas algumas dobras descontínuas na forma que você traçou, correspondendo às várias camadas ( densidades variadas) no interior da Terra.

Você nunca ressurgiria do outro lado da Terra, mas cairia além do centro por uma certa quantidade, girando no núcleo ou no manto, dependendo de alguns efeitos sutis que não são tão fáceis de calcular. Não apenas as densidades variáveis ​​em diferentes profundidades não são completamente conhecidas, mas as velocidades de rotação das camadas variáveis ​​no interior da Terra têm algumas incertezas. Se você considerar até mesmo uma única massa passando pela Terra, dependendo do caminho exato que ela toma, o atrito dinâmico também começa a desempenhar um papel.

Quando uma partícula massiva passa por um grande número de outras partículas com as quais ela apenas experimenta interações gravitacionais, ela pode experimentar atrito dinâmico, onde a partícula em movimento desacelerará como consequência de suas interações gravitacionais com as partículas no meio pelo qual passa. As velocidades relativas são a chave quantitativa. (NASA/JPL-Caltech)

Quando uma partícula passa por outras partículas massivas, ela as atrai gravitacionalmente. Se uma partícula passar por todas as outras, ela desviará suas trajetórias para onde acabou de passar, o que tem o efeito líquido de desacelerar o movimento da partícula original. Dependendo de como o projétil original foi orientado em relação à rotação e aos movimentos internos da Terra, isso pode afetar a trajetória de qualquer partícula que passe pela Terra.

Ao longo do período de uma única órbita, que ainda leva aproximadamente 85 a 90 minutos, isso pode ter um efeito grande o suficiente para que o projétil não retorne ao seu ponto de partida original. Se combinarmos os efeitos de:

• a gravitação de uma órbita elíptica devido a uma massa pontual,
• Teorema de Birkhoff para massas distribuídas pelo espaço,
• a variação de densidade, composição e (possivelmente) taxas de rotação das camadas da Terra,
• e dobrar os efeitos do atrito dinâmico,

um projétil não fará uma elipse fechada, mas retornará a um ponto deslocado por seu ponto inicial em até ~ 10 metros.

O que parece ser uma trajetória parabólica (esquerda) é na verdade um segmento de uma elipse (centro), mas se o projétil fosse feito de matéria escura (ou neutrinos) e fosse permitido cair pela Terra, não faria uma exata elipse, e a forma oval que ela fez (à direita) precessaria em uma quantidade pequena, mas significativa, a cada órbita. (Donald Simanek / Lock Haven University; KSmrq / Wikimedia Commons)

Para a maioria das aplicações práticas, não faz mal a ninguém tratar projéteis como tendo uma trajetória parabólica. Mas se você se preocupa com precisão mícron ou melhor, ou está lidando com uma grande estrutura (como uma ponte suspensa) que se estende por 100 metros ou mais, você não pode tratar o campo gravitacional da Terra como uma constante. Tudo é acelerado não para baixo, mas para o centro da Terra, permitindo que a verdadeira trajetória de um projétil – uma elipse – seja revelada.

Estudar os vários efeitos que estão em jogo, tanto externos à Terra quanto dentro do nosso planeta, também pode nos ensinar quando e em que circunstâncias é importante fazer essas considerações. Para a maioria das aplicações, a resistência do ar é uma preocupação muito maior do que quaisquer efeitos como as várias camadas do interior da Terra ou o atrito dinâmico, e tratar o campo gravitacional da Terra como uma constante é totalmente justificado. Mas para algum problema, essas diferenças importam. Somos livres para fazer as aproximações que escolhermos, mas quando nossa precisão sofre além de um limite crítico, não temos ninguém além de nós mesmos para culpar.

O fotógrafo Howard Clifford foge da ponte Tacoma Narrows aproximadamente às 10h45 do dia 7 de novembro, poucos minutos antes do colapso da seção central. (Arquivos históricos da Universidade de Washington Tacoma Narrows Bridge)

Começa com um estrondo é agora na Forbes , e republicado no Medium com um atraso de 7 dias. Ethan é autor de dois livros, Além da Galáxia , e Treknology: A ciência de Star Trek de Tricorders a Warp Drive .

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