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Os 5 principais fatos sobre matemática imaginária

Crédito da imagem: Ian, Andrew e Lee de https://allthingslearning.wordpress.com/tag/literacy-is-not-enough/.

Você sabe que a raiz quadrada de -1 é i, um número imaginário. Mas você conhecia algum desses?

Não há amor e bondade suficientes no mundo para permitir doá-los a seres imaginários . -Friedrich Nietzsche

Às vezes, se você quer descrever o Universo em que vive com precisão, precisa ir além das formas convencionais de pensar. No início do século 20, duas revoluções na física – a relatividade de Einstein (primeiro especial, depois geral) e a mecânica quântica – trouxeram a necessidade da matemática além do que os números reais poderiam nos trazer sozinhos. Desde então, matemática complexa, consistindo tanto de e partes imaginárias, tem sido inextricavelmente entrelaçado com a nossa compreensão do Universo.

Crédito da imagem: Sven Geier de http://www.sgeier.net/fractals/index02.php .

Matematicamente, quando pensamos em números, podemos pensar em algumas maneiras diferentes de categorizá-los:

O contável números: 1, 2, 3, 4, etc. Há um número infinito deles.
O inteira números: 0, 1, 2, 3, etc. São os mesmos que os contáveis, mas também incluem zero.
O inteiros : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc. Pode não parecer muito, mas o reconhecimento que podemos ter negativo números era enorme, e que pode haver tantos negativos quanto positivos. Isso inclui todos os números inteiros, bem como seus negativos.
O racionais : qualquer número que pode ser expresso como uma fração de um inteiro sobre outro. Isso inclui todos os inteiros (que podem ser expressos como eles mesmos sobre um), bem como um número infinito de racionais entre cada inteiro. Qualquer decimal infinitamente repetido pode ser expresso como um número racional.
O reais : inclui todos os números racionais, bem como todos os números irracionais, como as raízes quadradas de quadrados não perfeitos, π e uma série de outros. A soma de qualquer número racional e qualquer número irracional será irracional, mas a soma de dois irracionais posso ser racional.

Mas, enquanto a raiz quadrada de um positivo número é real, a raiz quadrada de um negativo número não está bem definido.

Crédito da imagem: Bill Watterson.

Pelo menos, não era, até que os definimos e inventamos os números imaginários para fazer exatamente isso! Um número imaginário é como um real, exceto que é multiplicado por eu , ou a raiz quadrada de (-1). Os números também podem ser complexos, onde eles têm uma parte real (a) e uma parte imaginária (b), e são normalmente expressos como (a + b eu ).

Agora que você sabe o que são, aqui estão meus 5 principais fatos divertidos sobre números imaginários!

1.) A raiz quadrada de eu tem Ambas partes reais e imaginárias . A raiz quadrada de um número real negativo é puramente imaginária, mas a raiz quadrada de um número puramente imaginário tem que tem partes reais e imaginárias! Veja como você pode provar isso para si mesmo. Você precisa para algum número , ao quadrado, para igualar √(-1). Imagine que poderia ter uma parte real, x, e uma parte imaginária, y, para que pudéssemos escrevê-la como (x + y eu ). Então poderíamos descobrir o que x e y precisam ser para que isso funcione.

Então, elevamos os dois lados ao quadrado,

e agora combinamos a parte real com a parte real, e a parte imaginária com a parte imaginária.

A partir dessas duas equações, substituímos x da equação da direita na esquerda,

e, portanto, podemos resolver para y:

Como você pode ver, existem dois possíveis soluções, e se usarmos a mão direita (parte imaginária) da equação para resolver x (que resulta igual a y em ambos os casos), obtemos as duas soluções:

O que nos leva ao próximo fato divertido…

dois.) Algum raiz de eu tem múltiplas soluções únicas, e a raiz N-ésima tem N soluções únicas . Para números reais positivos, tirando a raiz quadrada (ou seja, o segundo raiz) desse número fornece duas soluções possíveis: uma positiva e uma negativa. Por exemplo, √(1) pode ser +1, ou pode ser -1, pois qualquer um ao quadrado lhe dará 1.

Mas pelo eu , ou √(-1), se você quiser tirar as raízes disso, você tem que fazer um equação polinomial , como fizemos acima. A coisa é, o pedido da equação polinomial depende da raiz que tiramos dela. Então o terceiro , quarto , e quinto raízes de eu tem que satisfazer:

E haverá três, quatro e cinco soluções únicas (respectivamente) para cada um dos x e y nessas equações. Por exemplo, as três soluções para a raiz cúbica (3ª) de eu está:

(Tente cubar tudo isso e veja por si mesmo!) E isso nem é lidar com frações , que são uma outra lata de vermes. Na verdade…

3.) Em uma fração imaginária, realmente importa se o numerador ou denominador tem o eu iniciar . Se você pensa no número (-1), não importa se você pensa nele, em termos fracionários, como (-1)/1 ou como 1/(-1); ainda é o número (-1) de qualquer maneira. Mas isso é não o caso para eu ! Deixe-me perguntar o seguinte: o que você acha que é essa fração?

Olhando para isso, você pode pensar é apenas igual a eu , mas na verdade é – eu !

Quer provar? Basta multiplicar superior e inferior por eu , e veja você mesmo:

O que você precisa ter muito cuidado é que, quando você combina ou separa raízes quadradas de números negativos, existem regras complexas que você deve seguir para acertar. Violá-los e você pode fazer todo tipo de coisas insanas, como provar que +1 e -1 são iguais um ao outro.

Retirado de http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_number#Multiplication_of_square_roots .

Em vez disso, o matemática subjacente por trás de como combiná-los nos mostra uma coisa realmente bizarra…

4.) e, π e eu estão todos relacionados uns com os outros . Você sabe que, se tiver seus eixos x e y padrão (ambos reais), poderá Além disso represente esse espaço de coordenadas por coordenadas polares, onde você tem uma coordenada radial (r) e um ângulo polar (θ), assim:

Crédito da imagem: usuário do Wikimedia commons Cronholm144.

Bem, se você criar, em vez de um eixo x e y, um real e imaginário eixo, você pode fazer a mesma coisa, exceto que desta vez o ângulo θ leva você do plano real para o plano imaginário e volta novamente!

Crédito da imagem: usuário do Wikimedia commons pistoleiro , modificado por Wereon e lasindi .

O incrível disso é que se navegarmos para a posição de -1 no eixo real, chegaremos a um bela identidade :

Aí está: uma relação simples e inesperada entre e, eu , e π. Essas relações mostram uma muito em análises complexas. E, no entanto, se você estiver disposto a considerar exponenciais, este último é um doozy…

5.) eu ^ eu , ou eu elevado ao eu potência, é 100% real . Pense na equação na imagem acima — Fórmula de Euler — mas em vez de ir para (-1) no eixo real, vamos para eu no eixo imaginário. Neste caso, teríamos a equação que: