Por que 28 de junho é o único dia 'perfeito' do ano
Embora ocorra todos os anos, 28 de junho, ou 28º dia do 6º mês, é especial. Representa o único dia do ano em que a data e o mês correspondem numericamente aos dois primeiros números perfeitos: 6 e 28. Os anos 496 e 8128 também foram/serão especiais, pois 28 de junho desses anos cairá em um encontro triplamente perfeito. (GETTY)
Quer você escreva 28/6 ou 28/6, é a perfeição de qualquer maneira.
A perfeição pode ser uma coisa maravilhosa pela qual lutar na vida, mas alcançá-la é muito raro. No reino da matemática, no entanto, a perfeição é ainda mais difícil de encontrar do que na vida. Apesar de todos os números que sabemos que existem - não apenas de 1 ao infinito, mas muito além - apenas alguns deles podem ser considerados números perfeitos . Durante a maior parte da história humana, apenas um punhado de números perfeitos era conhecido, e ainda hoje – com o advento das técnicas matemáticas modernas e todos os avanços computacionais ocorridos – só conhecemos 51 números perfeitos no total.
Acontece que 28 de junho, ou 28º dia do 6º mês do ano, é a única combinação dia/mês que envolve dois números matematicamente perfeitos: 6 e 28. O próximo número perfeito não ocorre até 496, e você não encontrará o quarto até chegar a 8128. Isso significa que, se você seguir nosso calendário, 28 de junho de 496 foi o primeiro dia perfeito da história, e o próximo não chegará até 28 de junho, 8128.
No entanto, 28 de junho é o dia perfeito para uma celebração da perfeição matemática. Aqui está uma explicação que todos podem seguir.
O primeiro número matematicamente perfeito, 6, com seus divisores próprios 1, 2 e 3. Um número é perfeito se a soma de todos os seus fatores inteiros positivos, excluindo ele mesmo, somar o próprio número original. No caso de 6, seus fatores 1, 2 e 3 de fato somam 6. (YOGESHKUMAR HADIYA / C-SHARPCORNER.COM)
Quero apresentá-lo, de uma maneira que você pode não pensar convencionalmente, ao número 6. Ao contrário de todos os outros números ao redor, 6 não é apenas especial, mas perfeito.
O que o torna perfeito?
Todo número inteiro positivo – ou seja, todo número que você pode imaginar na sequência 1, 2, 3, …, até o ponto mais alto que você quiser – pode ser fatorado. Fatorar um número significa que você pode expressá-lo como dois números inteiros multiplicados. Todo número tem, como dois de seus fatores, ele mesmo e o número 1.
Se você não tem outros fatores além de 1 e o próprio número, você é um número primo.
Se você tiver outros fatores, no entanto, você pode adicioná-los todos. Se, ao fazer isso, a soma de todos os seus fatores (excluindo o número original) for igual ao próprio número original, parabéns: você é, de fato, um número perfeito. E é exatamente isso que acontece com o número 6.
As várias maneiras de fatorar o número 6, ilustrando sua perfeição. Seis é um número perfeito porque todos os seus únicos fatores inteiros positivos, excluindo a si mesmo, somam-se a si mesmo. 1 + 2 + 3 = 6 e, portanto, 6 é perfeito. (HYACINTH / WIKIMEDIA COMMONS / CCA-SA-4.0)
Podemos escrever 6 como o produto de dois números inteiros, multiplicados entre si, de duas maneiras diferentes:
- 6 × 1 = 6,
- 3 × 2 = 6,
e é isso. Todos juntos, os fatores de 6 são: 1, 2, 3 e o próprio número original, 6. Se você somar todos esses fatores – lembre-se, excluindo o próprio número original – você verá que obtém o número original de volta : 1 + 2 + 3 = 6.
É isso que torna um número perfeito.
E se você não for perfeito? Se a soma de todos os seus fatores (exceto o número original) for menor que o número original, você é conhecido como deficiente. A ideia de que algo seria um 10 perfeito é uma caricatura matemática, pois os fatores de 10, além de si mesmo, são: 1, 2 e 5. Eles somam apenas 8, tornando 10 um número deficiente.
Os primeiros números contáveis são na maioria deficientes, mas 6 é um número perfeito: o primeiro e mais fácil de descobrir. Enquanto isso, 12 é o primeiro número abundante, enquanto o único número frequentemente usado para descrever algo que é “perfeito”, 10, é na verdade deficiente. (E. SIEGEL)
Por outro lado, a soma de seus fatores (exceto o número original) pode ser maior que o número original, o que o tornaria abundante. 12, por exemplo, é um número abundante, pois você pode fatorá-lo como:
12 × 1 = 12,
6 × 2 = 12,
ou 4 × 3 = 12.
Os fatores de 12, então, excluindo a si mesmo, são: 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16, 12 um número abundante .
A maioria dos números é deficiente, e a esmagadora maioria é abundante. Apenas alguns muito, muito seletos são perfeitos. Na verdade, se você pudesse tentar exaustivamente todos os números, em ordem, para ver se eles eram deficientes, abundantes ou perfeitos. Ao subir de 1, você descobriria que todos os números eram deficientes até chegar a 6, o primeiro número perfeito, e então descobriria que todos os outros números eram deficientes, exceto 12, 18, 20 e 24, que são todos abundantes. Por fim, quando chegasse a 28, encontraria outro número que não era nem deficiente nem abundante; você encontraria o segundo número perfeito.
Embora possa parecer que chamar um número de “perfeito” seja subjetivo, ele tem uma definição matemática que apenas alguns números atendem. O segundo, 28, acontece porque os fatores de 28 menores que ele mesmo são: 1, 2, 4, 7 e 14, que somam 28. (JUDD SCHORR / GEEKDAD)
Por que 28 é perfeito? Por causa de seus fatores:
28 × 1 = 28,
14 × 2 = 28,
e 7 × 4 = 28.
Como você pode ver, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, tornando 28 o segundo número perfeito. É muito difícil ver se há um padrão para esses números perfeitos apenas com os dois primeiros, então vamos dar uma olhada no terceiro também: 496.
496 também é perfeito, pois seus fatores vêm de:
496 × 1 = 28,
248 × 2 = 496,
124 × 4 = 496,
62 × 8 = 496,
e 31 × 16 = 496.
E, só para verificar, você pode verificar que 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, de fato, soma 496.
Programas de computador com poder computacional suficiente por trás deles podem analisar por força bruta um candidato a primo de Mersenne para ver se ele corresponde a um número perfeito ou não, usando algoritmos que são executados sem falhas em um computador convencional (não quântico). Para números pequenos, isso pode ser feito facilmente; para grandes números, esta tarefa é extremamente difícil e requer cada vez mais poder computacional. (PROGRAMA C++ ORIGINALMENTE DE PROGANSWER.COM)
Dê uma olhada (novamente, se precisar) nas várias maneiras de fatorar esses três números perfeitos: 6, 28 e 496.
Você percebe que o menor fator em cada uma das formas de fazer esses números segue um padrão?
- Para 6, os números menores são 1 e 2 nas duas maneiras de fatorar 6.
- Para 28, os números menores são 1, 2 e 4 nas três maneiras de fatorar 28.
- Para 496, os números menores são 1, 2, 4, 8 e 16 nas cinco maneiras de fatorar 496.
Veja o número de maneiras de fatorar os três primeiros números perfeitos, bem como o número pequeno em cada um desses exemplos multiplicativos.
- 6: duas maneiras de fatorar, e a sequência é: 1, 2.
- 28: três maneiras de fatorar, e a sequência é: 1, 2, 4.
- 496: cinco maneiras de fatorar, e a sequência é: 1, 2, 4, 8, 16.
Mesmo se você não soubesse qual seria o quarto número perfeito – e spoiler, é 8128 – como você acha que esse padrão continua?
Os primeiros quatro números perfeitos podem ser decompostos extraindo fatores de 2 até que você não possa mais fazê-lo. Uma vez que isso é alcançado, você fica com um número ímpar multiplicado por 'potências de 2', onde esse número ímpar é 1 a menos que uma potência de 2 em si. Se esse número ímpar for primo, isso gerará um número perfeito para você. (E. SIEGEL)
Parabéns estão em ordem se você adivinhou que, para o quarto número perfeito, você esperaria que houvesse sete maneiras de fatorá-lo, e a sequência do pequeno número em cada um dos exemplos seria: 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
Por que você deveria ter adivinhado isso?
Porque o número de maneiras de fatorar algo está seguindo um padrão: 2, 3, 5, etc., todos parecem ser números primos. O próximo primo depois de 5 é 7, seguido por 11 e depois seguido por 13, 17, 19 e assim por diante. Enquanto isso, a sequência do número menor nas várias maneiras de fatorar o número maior parece estar seguindo potências de dois. Por exemplo, as cinco maneiras de fatorar 496 incluem 1, 2, 4, 8 e 16, que é equivalente a 2⁰, 2¹, 2², 2³ e 2⁴.
Bem, quão bem essa intuição matemática se sustenta na realidade?
Para o quarto número perfeito, 8128, ele se sustenta perfeitamente:
8128 × 1 = 8128,
4064 × 2 = 8128,
2032 × 4 = 8128,
1016 × 8 = 8128,
508 × 16 = 8128,
254 × 32 = 8128,
e 127 × 64 = 8128.
Quando você soma esses fatores (não próprios), novamente, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 confere, pois realmente é igual a 8128.
Os primeiros cinco números perfeitos, onde o que você espera ser o quinto, 2096128, não aparecem. Existem muitas propriedades numéricas interessantes em torno dos números perfeitos, mas eles não são tão fáceis de “adivinhar” a partir de padrões anteriores como você poderia esperar ingenuamente. (PÁGINA DA WIKIPÉDIA SOBRE NÚMEROS PERFEITOS)
Neste ponto, você provavelmente está pensando que pode pegar qualquer número primo (e gerar um número perfeito a partir dele seguindo este padrão. Afinal, os quatro primeiros primos correspondiam aos quatro primeiros números perfeitos: 2, 3, 5, e 7 correspondem a 6, 28, 496 e 8128. Matematicamente, há uma maneira compacta e agradável de escrever essa correspondência usando o último exemplo de fatoração em cada um desses casos:
6 = 2 × 3 = 2¹ × (2²–1),
28 = 4 × 7 = 2² × (2³–1),
496 = 16 × 31 = 2⁴ × (2⁵–1),
e 8128 = 64 × 127 = 2⁶ × (2⁷–1).
Mas quando chegamos ao próximo primo – 11 – vemos um colapso espetacular. Você esperaria, seguindo o mesmo padrão, que 2¹⁰ × (2¹¹–1) seria um número perfeito. Quando você calcular, isso deve ser 1024 × 2047, o que equivale a 2096128. O que, se você verificar por si mesmo, é não um número perfeito.
Por que não? Para cada um dos quatro exemplos anteriores, o único fator ímpar que eles possuem – 3, 7, 31 e 127, respectivamente – também é primo. Mas no caso desta tentativa de quinto exemplo, 2047 não é primo, mas pode ser fatorado: 2047 = 23 × 89. Em vez de perfeito, 2096128 acaba sendo um número abundante. (Hoje, sabemos que pouco menos de 25% de todos os inteiros positivos são abundantes, pouco mais de 75% são deficientes e que os números perfeitos são raridades extraordinárias.)
Leonhard Euler, famoso matemático, descobriu o Mersenne Prime 2³¹-1, que corresponde a um número perfeito. Descoberto em 1772 por Euler, permaneceu o maior primo conhecido por mais de 90 anos. Há uma conjectura não comprovada de que 2²¹⁴⁷⁴⁸³⁶⁴⁷–1 também é um Mersenne Prime. (JAKOB EMANUEL HANDMANN, PINTOR)
O que isso nos ensina é que temos uma maneira simples de gerar números perfeitos candidatos , mas então temos uma etapa extra a fazer: verificar se um número específico - o único fator restante quando todas as potências de 2 são extraídas do candidato a número perfeito - é primo.
Os que geram números perfeitos com sucesso se enquadram em uma categoria especial própria: o Prêmios Mersenne . A partir de 100 anos atrás, havia apenas 12 primos de Mersenne (e, portanto, apenas 12 números perfeitos) conhecidos. Um avanço espetacular veio em 1903 , quando Frank Nelson Cole deu uma palestra para a American Mathematical Society intitulada On the Factorization of Large Numbers. No lado esquerdo do tabuleiro, ele calculou (2⁶⁷–1), obtendo 147.573.952.589.676.412.927. No lado direito, ele simplesmente escreveu: 193.707.721 × 761.838.257.287. Ele passou a hora seguinte realizando a multiplicação desses dois números à mão, sem dizer nenhuma palavra até que a resposta fosse alcançada: 147.573.952.589.676.412.927.
Segundo a lenda, ele se sentou e foi imediatamente aplaudido de pé: a primeira vez dada em uma palestra de matemática. (Hoje, esse cálculo pode ser realizado em segundos por um computador típico.)
Este gráfico logarítmico mostra o número de dígitos no maior primo de Mersenne vs. tempo. Antes de 1952, apenas 12 primos de Mersenne eram conhecidos. Com o advento dos computadores, no entanto, bem como novos algoritmos, o número de dígitos no maior primo de Mersenne conhecido cresceu exponencialmente, com o advento do GIMPS fazendo com que ele crescesse ainda mais rápido desde 1997. (NICOGUARO / WIKIMEDIA COMMONS / CCA- SA-4.0)
A partir de 2021, existem 51 primos de Mersenne conhecidos, com todas as descobertas desde o final de 1996 alcançadas como parte do Ótima pesquisa na Internet Mersenne Prime . A maior, de Dia Número Perfeito em 2021, é 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³–1, que cria um número perfeito (quando multiplicado por 2⁸²⁵⁸⁹⁹³²) com quase 50.000.000 dígitos. Se você puder encontrar (e verificar) um primo de Mersenne com 100.000.000 dígitos ou mais, você ganhar um prêmio em dinheiro de $ 150.000 dólares , e se você encontrar (e verificar) um com um bilhão de dígitos, esse prêmio sobe para US$ 250.000.
Se você é ambicioso e tem muito tempo e poder computacional à sua disposição, tenho até um candidato interessante para você examinar: (2²¹⁴⁷⁴⁸³⁶⁴⁷–1), onde 2147483647 é o oito primo de Mersenne: (2³¹–1). Com cerca de 600 milhões de dígitos, seria o maior primo de Mersenne já verificado. (Isso é, E se acaba por ser primo.)
Mas para números com um ou dois dígitos, apenas dois deles são perfeitos: 6 e 28. Quer você escreva o mês ou a data primeiro, isso faz de 28 de junho o único dia perfeito do ano, um fato matemático que você pode apreciar - e, se quiser, explore - a qualquer hora que quiser!
Começa com um estrondo é escrito por Ethan Siegel , Ph.D., autor de Além da Galáxia , e Treknology: A ciência de Star Trek de Tricorders a Warp Drive .
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