• Começa com um estrondo

Tudo o que você precisa saber sobre a matemática da Powerball

Com um jackpot recorde de US$ 1,9 bilhão, você pensaria que é um acéfalo comprar um bilhete da Powerball. Mas a matemática realmente mostra o contrário.

Principais conclusões

• Com um jackpot recorde de US$ 1,9 bilhão e apenas 1 em 292 milhões de chances de ganhar, você pode pensar que, matematicamente, é inteligente jogar Powerball.
• Mas essa probabilidade não leva em consideração o custo de uma passagem versus quanto você pode esperar realmente levar para casa: a definição matemática de 'valor esperado'.
• Desde os prêmios que não são do jackpot até a escolha de pagar $ 1 extra por um 'jogo de poder', aqui está tudo o que você deve saber sobre a matemática por trás da loteria Powerball.

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Jogar na loteria é o cenário definitivo de baixo risco e alta recompensa. Se você perder, você terá apenas alguns dólares: o custo da sua aposta. Mas se você ganhar, mesmo que as probabilidades estejam contra você, a recompensa é potencialmente uma mudança de vida, prometendo uma vida fácil e luxuosa. Você pode não apenas realizar todos os seus sonhos que dependem de fortunas financeiras, mas também os de seus amigos e parentes. E aqui em novembro de 2022, o jackpot da Powerball atingiu um novo recorde de US$ 1,9 bilhão , um novo recorde não apenas em termos de Powerball, mas entre todos os jogos de loteria em todo o mundo.

Para ganhar, você precisa acertar cinco números normais de loteria — bolas brancas numeradas de 1 a 69 — mais a Powerball: uma bola vermelha numerada de 1 a 26. Cada bilhete da Powerball custa $ 2, e você tem a opção de pagar $ 1 extra para ativar o power play, um multiplicador que aumenta seu pagamento para prêmios que não são do jackpot.

Com um jackpot de US $ 1,9 bilhão, além de uma série de prêmios menores para acertar algumas (mas não todas) as bolas sorteadas, aqui está tudo o que você precisa saber sobre o que a matemática diz sobre jogar na loteria Powerball.

Tendo acabado de atingir um recorde de US $ 1,9 bilhão, o Powerball Jackpot de 7 de novembro de 2022 acabou de quebrar o recorde de jackpot de loteria mais rico da história. Um único vencedor, excluindo impostos, cairia no top 2000 do mundo em termos de pessoas mais ricas vivas hoje.

Em particular, há algumas perguntas que você deve fazer se estiver interessado na matemática por trás da Powerball:

• Quais são suas chances de conseguir cada combinação vencedora individual?
• Quanto paga cada possibilidade vencedora?
• Vale a pena ativar o jogo de poder opção?
• E, finalmente, quão grande deve ser o jackpot para que jogar na loteria Powerball “vale a pena” do ponto de vista matemático?

A ideia de “vale a pena” é subjetiva para a maioria das pessoas, mas do ponto de vista científico/matemático, tem um significado muito particular. Isso significa que o valor que você pode esperar ganhar, dado um resultado médio do bilhete, é maior do que o valor que você precisa apostar para jogar. Se um bilhete de loteria Powerball custa $ 2, por exemplo, comprar um bilhete estaria acima da linha “vale a pena” se:

• Você tinha 51% de chance de ganhar $ 4.
• Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 2.001.
• Ou você tinha uma chance de 1 em 499.999 de ganhar $ 1.000.000.

Mas comprar um bilhete cairia abaixo da linha “vale a pena” se:

• Você tinha apenas 49% de chance de ganhar $ 4.
• Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 1.999.
• Ou, você tinha uma chance de 1 em 500.001 de ganhar $ 1.000.000.

Esta foto, tirada no Museu do Dinheiro em Chicago, mostra como são $1.000.000 em dinheiro, em notas de vinte dólares. Este é o 'segundo prêmio' no jackpot da Powerball, com aproximadamente 1 em 11 milhões de chances de tal resultado na Powerball.

Observe como essas diferenças são pequenas, mas como nos casos anteriores, você pode esperar ganhar mais do que apostou, enquanto nos últimos casos, você espera apostar mais do que ganha. Isso é apenas uma média, é claro, mas é assim porque:

• Uma chance de 51% de ganhar $ 4 significa que um bilhete médio vale $ 2,02.
• Uma chance de 0,1% de ganhar $ 2.001 significa que um bilhete médio vale $ 2.001.
• E uma chance de 1 em 499.999 de ganhar $ 1.000.000 significa que um bilhete médio vale $ 2.000004.

Por outro lado, para os últimos exemplos – aqueles que ficam abaixo da linha “vale a pena” – a tradução de probabilidade para o valor do bilhete funciona da seguinte forma:

• Uma chance de 49% de ganhar $ 4 significa que um bilhete médio vale $ 1,98.
• Uma chance de 0,1% de ganhar $ 1.999 significa que um ticket médio vale $ 1.999.
• E uma chance de 1 em 500.001 de ganhar $ 1.000.000 significa que um bilhete médio vale $ 1,999996.

Os matemáticos chamam essa proporção de quanto você ganha versus quanto você aposta de valor esperado (ou valor esperado) de um problema. Se o valor esperado for maior que 1,0 ou maior que o custo de um ingresso, vale a pena jogar. (E se não, então não é!)

Este diagrama mostra a probabilidade de alcançar resultados dentro de um, dois e três desvios padrão do valor médio, assumindo uma distribuição aleatória gaussiana (ou seja, curva de Bell) de possíveis resultados. Resultados menos prováveis, na(s) extremidade(s) dessa distribuição, geralmente são onde ocorrem os eventos mais interessantes. Para obter seu valor esperado, você deve multiplicar as chances de cada resultado possível pela 'recompensa' por alcançar cada resultado.

Essa é a ideia geral para qualquer tipo de jogo/evento de jogo: calcule o equilíbrio entre suas chances de ganhar um prêmio (ou todos os prêmios possíveis) multiplicado por quanto esse prêmio realmente vale e compare isso com o custo real da “chance” que você compra, para determinar o valor real de cada bilhete de loteria.

Especificamente, então, o que isso significa para o jogo Powerball?

Vamos resolver isso.

Em cada jogo da Powerball, você recebe um bilhete com cinco números brancos (de 69 opções possíveis) e um número vermelho (o Powerball, de 26). Para descobrir qual é o valor esperado para cada bilhete da Powerball, a primeira coisa que precisamos fazer é entender qual é o conjunto de resultados possíveis e quais são suas chances de conseguir cada um. Aqui está um infográfico que fiz que detalha quais são suas chances, em cada bilhete – lembre-se, com cinco números brancos entre 1 e 69 e um número vermelho entre 1 e 26 – de alcançar cada resultado possível.

As chances de alcançar todos os resultados possíveis com um bilhete Powerball à medida que cada número relevante é sorteado. Observe que o resultado mais provável, de não acertar nenhum número, é 65,23% provável e que, em um total de 95,98% das vezes, nenhum prêmio é concedido.

Suas chances de ganhar o jackpot da Powerball são bem pequenas: uma em 292.201.338. Na verdade, suas chances de ganhar qualquer coisa também não são muito boas, já que os três resultados mais comuns são:

• nenhuma correspondência de qualquer tipo (65,23%),
• uma bola branca e nenhuma Powerball (27,18%), e
• duas bolas brancas e nenhuma Powerball (3,565%).

Essas três opções não pagam absolutamente nada e somam 95,98% dos resultados possíveis. Em outras palavras, sem acertar a Powerball, você precisa de pelo menos três bolas brancas para ganhar qualquer coisa.

Isso deixa os 4,02% restantes do tempo como as únicas chances que você tem de realmente ganhar alguma coisa. Se os prêmios que o vencedor paga — em média — atravessar um limite grande o suficiente, valerá a pena apostar, e valerá a pena comprar um bilhete e jogar o jogo.

As opções possíveis, que representam 4,02% de todos os bilhetes Powerball vendidos, para o que você deve combinar para ganhar esse prêmio, qual é o prêmio para ganhar e quais são suas chances de alcançar esse resultado específico.

Esses prêmios variam tremendamente em suas chances de alcançá-los e também em quanto eles pagam, supondo que você os ganhe. De acordo com o site oficial da Powerball:

• Obtendo a Powerball com 0 ou 1 partida das bolas brancas, você ganha $ 4.
• Acertar a Powerball com 2 bolas brancas iguais ou errar a Powerball, mas acertar 3 bolas brancas iguais você ganha $ 7.
• Acertar a Powerball com 3 bolas brancas iguais ou errar a Powerball, mas acertar 4 bolas brancas iguais você ganha $ 100.
• Acertar a Powerball com 4 bolas brancas iguais você ganha $ 50.000.
• Perder a Powerball, mas acertar todas as 5 bolas brancas correspondentes, você ganha $ 1.000.000.
• E, claro, acertar todos os números - a Powerball e todas as 5 bolas brancas - você ganha o Grande Prêmio.

Se você quiser calcular o valor esperado de cada bilhete Powerball comprado, você precisa multiplicar suas chances de ganhar cada prêmio pelo pagamento de cada prêmio possível e, em seguida, somá-los todos juntos para descobrir o valor total de cada bilhete. Dado que cada bilhete da Powerball custa $ 2, com um adicional de $ 1 possível para selecionar a opção “Power Play”, e que o pagamento do “Grande Prêmio” depende tanto do valor total do jackpot quanto de quantos co-vencedores existem.

Dito isso, voltaremos à opção Power Play e ao pagamento do Grande Prêmio em breve; primeiro, vamos ver as opções não-Jackpot mais prováveis.

As combinações possíveis de resultados, as chances de alcançar esse resultado, o pagamento e a contribuição desse pagamento para o valor esperado de um bilhete Powerball de US$ 2. Observe que os prêmios maiores e menos prováveis ​​contribuem apenas com centavos para o valor total de um bilhete.

Para cada bilhete de US $ 2 que você compra, você pode esperar recuperar, em média:

• cerca de US$ 0,15 dos pagamentos periódicos de US$ 4,
• cerca de US$ 0,02 dos pagamentos periódicos de US$ 7,
• cerca de US$ 0,01 dos pagamentos periódicos de US$ 100,
• cerca de US$ 0,05 dos pagamentos periódicos de US$ 50.000,
• e cerca de US$ 0,09 dos pagamentos periódicos de US$ 1.000.000.

Isso significa, ao todo, que as opções sem jackpot fazem com que cada bilhete valha apenas US$ 0,32, o que está muito longe dos US$ 2 que você investiu. Isso nos ensina duas coisas:

1. Ele nos dá as informações que precisamos para descobrir quanto realmente vale a opção “Power Play”.
2. Ele nos informa quanto o Jackpot precisa pagar para que a compra de um bilhete da Powerball valha a pena, matematicamente.

Primeiro, vamos assumir a opção Power Play.

As probabilidades de um Power Play junto com o prêmio aumentam ao usar a opção Power Play, com as probabilidades fornecidas quando o multiplicador de 10x está e não está ativo.

A opção Power Play — que custa um extra de US$ 1,00, transformando um ingresso de US$ 2 em um ingresso de US$ 3 — faz o seguinte:

• não tem efeito sobre o Jackpot/Grande Prêmio,
• sempre dobra o pagamento do segundo prêmio mais lucrativo e
• tem uma chance de 1 em 1,75 de dobrar (2x), uma chance de 1 em 3,23 de triplicar (3x), uma chance de 1 em 14 de quadruplicar (4x), ou uma chance de 1 em 21 de quintuplicar (5x) os demais prêmios.
• Se o multiplicador de 10x estiver ativo (apenas para Jackpots abaixo de US$ 150 milhões), ele reduz muito ligeiramente as chances de todas as outras opções e adiciona uma chance de 1 em 43 de multiplicar dez vezes (10x) todos, exceto os dois principais prêmios .

Então, qual é o retorno extra esperado para esse investimento adicional de US$ 1?

Ele transforma o valor esperado das opções sem jackpot, por bilhete, de US$ 0,32 para US$ 0,81. Isso significa que você está gastando US$ 1,00 extra para aumentar seu pagamento esperado em US$ 0,49, um péssimo negócio de qualquer forma que você o faça.

Na verdade, mesmo se você acertar a opção 5x, o que acontece apenas cerca de 5% das vezes, você só aumenta seus ganhos esperados para $ 1,34 para as opções sem jackpot, o que aumenta seus ganhos em apenas $ 1,02. Isso é o que você precisa para fazer valer a pena pegar a opção Power Play: um multiplicador garantido de 5x ou melhor. O fato de que o segundo maior pagamento é apenas o dobro, não importa qual seja o multiplicador do Power Play, torna isso um negócio bruto de qualquer maneira que você o corte.

Em outras palavras, a menos que você saiba que tem a garantia de obter o multiplicador de 5x ou 10x, você nunca deve escolher a opção Power Play.

Com um novo recorde de $ 1,9 bilhão Powerball Jackpot, um único vencedor se tornaria o maior ganhador da loteria Jackpot da história, imediatamente fazendo com que valessem mais (menos impostos, é claro) do que Christian Birkenstock, Michael Jordan e Rihanna.

Então, finalmente, chegamos ao grande prêmio: o Jackpot, ou o Grande Prêmio, que você ganha ao acertar todos os cinco números mais a Powerball, algo que tem uma chance em 292.201.338 de acontecer. Dado que seu ingresso custa US$ 2 e o 'resto do seu ingresso' vale US$ 0,32, faria sentido que, desde que o valor esperado fosse de US$ 1,68 ou mais do Grande Prêmio Powerball, você sairia na frente e deveria jogar .

E isso está correto, matematicamente falando! Se o seu bilhete custa $ 2, mas vale mais do que $ 2, é matematicamente vantajoso jogar e comprá-lo.

Mas tenha cuidado, porque este próximo passo – do ponto de vista matemático – é onde eles o enganam. Você pode pensar: “Ei, desde que o Powerball Jackpot seja superior a US$ 245 milhões, se minhas chances de ganhar forem de 1 em 292 milhões, sairei à frente do 'valor esperado de US$ 1,68' por bilhete de US$ 2 para ganhar o Jackpot.” Mas isso está errado por duas razões.

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1. Você tem que pagar impostos sobre seus ganhos, e o vencedor médio do Jackpot (dependendo das leis tributárias específicas do seu estado) que aceita a opção de quantia única fica com cerca de 37,2% do valor do Grande Prêmio.
2. Isso também pressupõe que seu bilhete premiado será o único bilhete premiado, mas quanto mais pessoas jogarem, maiores serão as chances de haver vários vencedores do Grande Prêmio que precisam dividir o prêmio.

No topo, as projeções de vendas de ingressos da Powerball dependem do tamanho do Jackpot; mais de meio bilhão de bilhetes são esperados para cada Jackpot acima de US$ 1 bilhão. No fundo, o valor esperado de um bilhete Powerball de US $ 2, que, ao contabilizar impostos e dividir Jackpots, atinge valores de Jackpot de cerca de meio bilhão de dólares e diminui a partir de então.

Os impostos não apenas esmagam o pagamento esperado do Grande Prêmio, mas também o segundo maior prêmio: os US $ 1.000.000 por acertar todos os cinco números brancos sem a Powerball. O pagamento médio por “ganhar US$ 1.000.000” é de apenas US$ 590.000, o que reduz o valor do seu ticket médio em cerca de US$ 0,04 em relação ao que acabamos de calcular antes. Mas é a noção de que “haverá um vencedor, e esse vencedor serei eu” que é verdadeiramente errônea.

Se 190 milhões de ingressos forem vendidos – bem típico para um Jackpot de quase US $ 1 bilhão – as probabilidades são:

• 34% que ninguém ganha o Jackpot,
• 37% que apenas uma pessoa ganha o Jackpot,
• e 29% que duas ou mais pessoas ganham, e dividem, o Jackpot.

Quanto maior o Jackpot, maior o número de pessoas que compram ingressos. Mas quando mais de 200 milhões de bilhetes são vendidos, o que acontece em níveis de Jackpot maiores, menos valioso cada bilhete se torna! Um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 1.500 milhões (ou US$ 1,5 bilhão), na verdade, valeria apenas cerca de metade do que um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 500 milhões, porque você provavelmente teria que dividir o Jackpot, mesmo se você ganhou, com entre três e sete outras pessoas.

Ao todo, quando você considera os impostos e os jackpots divididos, descobre que, mesmo no valor máximo, um bilhete Powerball de US$ 2 vale apenas US$ 0,852, ou apenas 43% do que você pagou por ele. Se jogar $ 1,15 fora vale a quantidade de diversão que você terá, vá em frente. $ 0,85 do seu bilhete vai para uma loteria “justa”; os $1,15 restantes são simplesmente sua doação para quaisquer programas que a loteria Powerball suporte!

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