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Corpos rígidos

Statics

A estática é o estudo de corpos e estruturas que estão em equilíbrio. Para um corpo estar em equilíbrio , não deve haver rede força agindo sobre isso. Além disso, não deve haver rede torque agindo sobre isso.Figura 17Amostra um corpo em equilíbrio sob a ação de forças iguais e opostas.Figura 17Bmostra um corpo movido por forças iguais e opostas que produzem um torque líquido, tendendo a fazê-lo girar. Portanto, não está em equilíbrio.

corpo sob forças iguais e opostas Figura 17: (A) Um corpo em equilíbrio sob forças iguais e opostas. (B) Um corpo que não está em equilíbrio sob forças iguais e opostas. Encyclopædia Britannica, Inc.

Quando um corpo tem uma rede de força e uma rede de torque agindo sobre ele devido a uma combinação de forças, todas as forças que agem sobre o corpo podem ser substituídas por uma única força (imaginária) chamada de resultante, que atua em um único ponto no corpo, produzindo a mesma força líquida e o mesmo torque líquido. O corpo pode ser colocado em equilíbrio aplicando-se a ele uma força real no mesmo ponto, igual e oposto à resultante. Essa força é chamada de equilibrante. Um exemplo é mostrado emFigura 18.

forças resultantes e equilibradas Figura 18: A força resultante ( F _R ) produz a mesma força líquida e o mesmo torque líquido sobre o ponto PARA como F ₁+ F _dois; o corpo pode ser colocado em equilíbrio aplicando a força de equilíbrio F _é . Encyclopædia Britannica, Inc.

O torque em um corpo devido a uma dada força depende do ponto de referência escolhido, uma vez que o torque τ por definição é igual a r × F , Onde r é um vetor de algum ponto de referência escolhido ao ponto de aplicação da força. Assim, para um corpo estar em equilíbrio, não apenas a força resultante sobre ele deve ser igual a zero, mas o torque resultante em relação a qualquer ponto também deve ser zero. Felizmente, é facilmente mostrado para um corpo rígido que, se a força resultante for zero e o torque líquido for zero em relação a qualquer ponto, então o torque líquido também será zero em relação a qualquer outro ponto no quadro de referência.

Um corpo é formalmente considerado rígido se a distância entre qualquer conjunto de dois pontos nele for sempre constante. Na realidade, nenhum corpo é perfeitamente rígido. Quando forças iguais e opostas são aplicadas a um corpo, ele sempre é ligeiramente deformado. A tendência do próprio corpo de restaurar a deformação tem o efeito de aplicar forças contrárias a tudo o que está aplicando as forças, obedecendo assim à terceira lei de Newton. Chamar um corpo de rígido significa que as mudanças nas dimensões do corpo são pequenas o suficiente para serem negligenciadas, mesmo que a força produzida pela deformação não possa ser negligenciada.

Forças iguais e opostas atuando em um corpo rígido podem atuar de modo a comprimir o corpo (Figura 19A) ou para esticá-lo (Figura 19B) Os corpos são então considerados sob compressão ou sob tensão, respectivamente. Cordas, correntes e cabos são rígidos sob tensão, mas podem colapsar sob compressão. Por outro lado, certos materiais de construção, como tijolo e argamassa, pedra ou concreto, tendem a ser fortes sob compressão, mas muito fracos sob tensão.

compressão e tensão Figura 19: (A) Compressão produzida por forças iguais e opostas. (B) Tensão produzida por forças iguais e opostas. Encyclopædia Britannica, Inc.

A aplicação mais importante da estática é estudar a estabilidade de estruturas, como edifícios e pontes. Nesses casos, gravidade aplica uma força a cada componente da estrutura, bem como a quaisquer corpos que a estrutura possa precisar suportar. A força de gravidade atua em cada pedaço de massa de que cada componente é feito, mas para cada componente rígido pode ser pensado como agindo em um único ponto, o centro de gravidade, que é, nesses casos, o mesmo que o centro de massa.

Para dar um exemplo simples, mas importante da aplicação da estática, considere as duas situações mostradas emFigura 20. Em cada caso, uma massa m é suportado por dois membros simétricos, cada um fazendo um ângulo θ em relação à horizontal. DentroFigura 20Aos membros estão sob tensão; dentroFigura 20Beles estão sob compressão. Em ambos os casos, a força que atua ao longo de cada um dos membros é mostrado ser

corpo suportado sob tensão e compressão Figura 20: (A) Um corpo suportado por dois membros rígidos sob tensão. (B) Um corpo apoiado por dois membros rígidos sob compressão. Encyclopædia Britannica, Inc.

A força, em qualquer caso, torna-se intoleravelmente grande se o ângulo θ pode ser muito pequeno. Em outras palavras, a massa não pode ser suspensa de membros horizontais finos, apenas capazes de suportar a compressão ou as forças de tração da massa.

Os antigos gregos construíram pedras magníficas templos ; no entanto, as lajes de pedra horizontais que constituído os telhados dos templos não podiam suportar nem mesmo seu próprio peso em mais do que um pequeno vão. Por esse motivo, uma característica que identifica um templo grego são os muitos pilares espaçados necessários para sustentar o telhado plano. O problema apresentado pela equação (71) foi resolvido pelo antigo Romanos , que incorporou em sua arquitetura o arco, estrutura que sustenta seu peso por compressão, correspondendo aFigura 20B.

Uma ponte suspensa ilustra o uso da tensão. O peso do vão e qualquer tráfego sobre ele é suportado por cabos, que são colocados sob tensão pelo peso. Correspondendo aFigura 20A, os cabos não são esticados para serem horizontais, mas sim sempre pendurados de forma a terem uma curvatura significativa.

Deve ser mencionado de passagem que o equilíbrio sob forças estáticas não é suficiente para garantir a estabilidade de uma estrutura. Também deve ser estável contra perturbações, como as forças adicionais que podem ser impostas, por exemplo, por ventos ou terremotos. A análise da estabilidade de estruturas sob tais perturbações é uma parte importante do trabalho de um engenheiro ou arquiteto.

Rotaçãosobre um eixo fixo

Considere um corpo rígido que pode girar livremente em torno de um eixo fixo no espaço. Por causa do corpo inércia , ele resiste a ser colocado em movimento de rotação e, igualmente importante, uma vez que gira, resiste a ser colocado em repouso. Exatamente como essa resistência inercial depende da massa e da geometria do corpo é discutido aqui.

Considere o eixo de rotação como o com -eixo. Um vetor no x - Y plano do eixo para um pouco de massa fixada no corpo forma um ângulo θ com respeito ao x -eixo. Se o corpo estiver girando, θ muda com o tempo, e a frequência angular do corpo é

ω também é conhecida como velocidade angular. Se ω está mudando com o tempo, há também uma aceleração angular uma , de tal modo que

Porque o momento linear p está relacionado à velocidade linear v de p = mv , Onde m é a massa, e porque a força F está relacionado à aceleração para de F = mãe , é razoável supor que existe uma quantidade eu que expressa oInércia rotacionaldo corpo rígido em analogia para o caminho m expressa a resistência inercial às mudanças no movimento linear. Seria de se esperar que o momento angular É dado por

e que o torque (força de torção) é dada por

Pode-se imaginar dividindo o corpo rígido em pedaços de massa rotulados m ₁, m _dois, m ₃, e assim por diante. Deixe o bit de massa na ponta do vetor ser chamado m _eu , conforme indicado emFigura 21. Se o comprimento do vetor do eixo até este pedaço de massa for R _eu , então m _eu Velocidade linear de v _eu é igual a ωR _eu (veja a equação [31]), e seu momento angular eu _eu é igual a m _eu v _eu R _eu (veja a equação [44]), ou m _eu R _eu ^dois ω . O momento angular do corpo rígido é encontrado somando todas as contribuições de todos os pedaços de massa rotulados eu = 1, 2, 3. . . :

rotação em torno de um eixo fixo Figura 21: Rotação em torno de um eixo fixo. Encyclopædia Britannica, Inc.

Em um corpo rígido, a quantidade entre parênteses na equação (76) é sempre constante (cada bit de massa m _eu sempre permanece a mesma distância R _eu do eixo). Assim, se o movimento é acelerado, então

Relembrando aquilo τ = dL / DT , pode-se escrever

(Essas equações podem ser escritas em forma escalar, uma vez que eu e τ são sempre direcionados ao longo do eixo de rotação nesta discussão.) Comparando equações (76) e (78) com (74) e (75), descobre-se que

A quantidade eu é chamado de momento de inércia.

De acordo com a equação (79), o efeito de um bit de massa no momento de inércia depende de sua distância do eixo. Por causa do fator R _eu ^dois, a massa longe do eixo dá uma contribuição maior do que a massa próxima ao eixo. É importante notar que R _eu é a distância do eixo, não de um ponto. Portanto, se x _eu e Y _eu são as x e Y coordenadas da massa m _eu , então R _eu ^dois= x _eu ^dois+ Y _eu ^dois, independentemente do valor do com coordenada. Os momentos de inércia de alguns corpos uniformes simples são dados no tabela.

O momento de inércia de qualquer corpo depende do eixo de rotação. Dependendo da simetria do corpo, pode haver até três momentos de inércia diferentes sobre eixos mutuamente perpendiculares que passam pelo centro de massa. Se o eixo não passa pelo centro de massa, o momento de inércia pode estar relacionado ao momento de um eixo paralelo que o faz. Deixar eu _c ser o momento de inércia em torno do eixo paralelo ao centro de massa, r a distância entre os dois eixos, e M a massa total do corpo. Então

Em outras palavras, o momento de inércia em torno de um eixo que não passa pelo centro de massa é igual ao momento de inércia para rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa ( eu _c ) mais uma contribuição que age como se a massa estivesse concentrada no centro de massa, que então gira em torno do eixo de rotação.

A dinâmica de corpos rígidos girando em torno de eixos fixos pode ser resumida em três equações. O momento angular é eu = Iω , o torque é τ = Iα , e as energia cinética é PARA =¹/_dois Iω ^dois.

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