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teoria da probabilidade

teoria da probabilidade , um ramo de matemática preocupada com a análise de fenômenos aleatórios. O resultado de um evento aleatório não pode ser determinado antes de ocorrer, mas pode ser qualquer um dos vários resultados possíveis. O resultado real é considerado determinado pelo acaso.

A palavra probabilidade tem vários significados na conversa comum. Dois deles são particularmente importantes para o desenvolvimento e aplicações da teoria matemática da probabilidade. Uma é a interpretação de probabilidades como frequências relativas, para as quais jogos simples envolvendo moedas, cartas, dados e rodas de roleta fornecem exemplos. A característica distintiva dos jogos de azar é que o resultado de uma determinada tentativa não pode ser previsto com certeza, embora o coletivo os resultados de um grande número de tentativas mostram alguma regularidade. Por exemplo, a afirmação de que a probabilidade de cara no lançamento de uma moeda é igual à metade, de acordo com a interpretação da frequência relativa, implica que em um grande número de jogadas, a frequência relativa com que cara realmente ocorre será de aproximadamente metade, embora não contém implicação sobre o resultado de qualquer sorteio. Existem muitos exemplos semelhantes envolvendo grupos de pessoas, moléculas de um gás, genes e assim por diante. Declarações atuariais sobre o expectativa de vida pois pessoas de uma certa idade descrevem a experiência coletiva de um grande número de indivíduos, mas não pretendem dizer o que acontecerá a qualquer pessoa em particular. Da mesma forma, as previsões sobre a chance de uma doença genética ocorrer em um filho de pais com uma composição genética conhecida são afirmações sobre frequências relativas de ocorrência em um grande número de casos, mas não são previsões sobre um determinado indivíduo.

Este artigo contém uma descrição dos importantes conceitos matemáticos da teoria da probabilidade, ilustrados por algumas das aplicações que estimularam seu desenvolvimento. Para um tratamento histórico mais completo, Vejo probabilidade e estatística . Uma vez que as aplicações envolvem inevitavelmente suposições simplificadas que se concentram em algumas características de um problema em detrimento de outras, é vantajoso começar pensando em experimentos simples, como jogar uma moeda ou jogar dados, e mais tarde ver como esses frívolo as investigações referem-se a importantes questões científicas.

Experimentos, espaço amostral, eventos e probabilidades igualmente prováveis

Aplicações de experimentos de probabilidade simples

O ingrediente fundamental da teoria da probabilidade é um experimento que pode ser repetido, pelo menos hipoteticamente, em condições essencialmente idênticas e que pode levar a resultados diferentes em diferentes tentativas. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é chamado de espaço amostral. A experiência de jogar uma moeda uma vez resulta em um espaço amostral com dois resultados possíveis, cara e coroa. O lançamento de dois dados tem um espaço de amostra com 36 resultados possíveis, cada um dos quais pode ser identificado com um par ordenado ( eu , j ), Onde eu e j assuma um dos valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e denote as faces que aparecem nos dados individuais. É importante pensar nos dados como identificáveis ​​(digamos por uma diferença de cor), de modo que o resultado (1, 2) seja diferente de (2, 1). Um evento é um subconjunto bem definido do espaço amostral. Por exemplo, o evento em que a soma das faces mostradas nos dois dados é igual a seis consiste nos cinco resultados (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) e (5, 1).

espaço de amostra para um par de dados Espaço de amostra para um par de dados. Encyclopædia Britannica, Inc.

Um terceiro exemplo é desenhar n bolas de uma urna contendo bolas de várias cores. Um resultado genérico para este experimento é um n -tuplo, onde o eu a entrada especifica a cor da bola obtida no eu o sorteio eu = 1, 2, ..., n ) Apesar da simplicidade deste experimento, uma compreensão completa dá a base teórica parapesquisas de opiniãoe pesquisas por amostragem. Por exemplo, os indivíduos em uma população que favorece um determinado candidato em uma eleição podem ser identificados com bolas de uma determinada cor, aqueles que favorecem um candidato diferente podem ser identificados com uma cor diferente e assim por diante. A teoria da probabilidade fornece a base para aprender sobre o conteúdo da urna a partir da amostra de bolas retiradas da urna; uma aplicação é aprender sobre as preferências eleitorais de uma população com base em uma amostra retirada dessa população.

Outra aplicação dos modelos de urna simples é o uso de testes clínicos projetados para determinar se um novo tratamento para uma doença, um novo medicamento ou um novo procedimento cirúrgico é melhor do que um tratamento padrão. No caso simples em que o tratamento pode ser considerado sucesso ou fracasso, o objetivo do ensaio clínico é descobrir se o novo tratamento leva ao sucesso com mais frequência do que o tratamento padrão. Pacientes com a doença podem ser identificados com bolas em uma urna. As bolas vermelhas são aqueles pacientes que estão curados com o novo tratamento, e as bolas pretas são aqueles que não estão curados. Normalmente existe um grupo de controle, que recebe o tratamento padrão. Eles são representados por uma segunda urna com uma fração possivelmente diferente de bolas vermelhas. O objetivo da experiência de retirar um certo número de bolas de cada urna é descobrir com base na amostra qual urna tem a maior fração de bolas vermelhas. Uma variação dessa ideia pode ser usada para testar o eficácia de uma nova vacina. Talvez o maior e mais famoso exemplo tenha sido o teste da vacina Salk para poliomielite, realizado em 1954. Foi organizado pelo Serviço de Saúde Pública dos Estados Unidos e envolveu quase dois milhões de crianças. Seu sucesso levou à eliminação quase completa da poliomielite como um problema de saúde nas partes industrializadas do mundo. A rigor, essas aplicações são problemas de estatística, cujas bases são fornecidas pela teoria da probabilidade.

Em contraste com os experimentos descritos acima, muitos experimentos têm infinitamente muitos resultados possíveis. Por exemplo, pode-se jogar uma moeda até que apareça cara pela primeira vez. O número de jogadas possíveis é n = 1, 2,…. Outro exemplo é girar um spinner. Para um spinner idealizado feito de um segmento de linha reta sem largura e girado em seu centro, o conjunto de resultados possíveis é o conjunto de todos os ângulos que a posição final do spinner faz com alguma direção fixa, equivalentemente todos os números reais em [0 , 2π). Muitas medições nas ciências naturais e sociais, como volume, voltagem, temperatura, tempo de reação, renda marginal e assim por diante, são feitas em escalas contínuas e, pelo menos em teoria, envolvem um número infinito de valores possíveis. Se as medições repetidas em assuntos diferentes ou em momentos diferentes no mesmo assunto podem levar a resultados diferentes, a teoria da probabilidade é uma ferramenta possível para estudar essa variabilidade.

Devido à sua simplicidade comparativa, os experimentos com espaços de amostra finitos são discutidos primeiro. No desenvolvimento inicial da teoria da probabilidade, os matemáticos consideravam apenas os experimentos para os quais parecia razoável, com base em considerações de simetria, supor que todos os resultados do experimento eram igualmente prováveis. Então, em um grande número de ensaios, todos os resultados devem ocorrer com aproximadamente a mesma frequência. A probabilidade de um evento é definida como a razão do número de casos favoráveis ​​ao evento - ou seja, o número de resultados no subconjunto do espaço de amostra que define o evento - para o número total de casos. Assim, os 36 resultados possíveis no lançamento de dois dados são assumidos igualmente prováveis, e a probabilidade de obter seis é o número de casos favoráveis, 5, dividido por 36, ou 5/36.

Agora, suponha que uma moeda seja lançada n vezes, e considere a probabilidade de o evento heads não ocorrer no n lançamentos. Um resultado do experimento é um n -tuplo, o para cuja entrada identifica o resultado do para o arremesso. Uma vez que existem dois resultados possíveis para cada lançamento, o número de elementos no espaço amostral é 2 ⁿ . Destes, apenas um resultado corresponde a não ter cabeças, então a probabilidade necessária é 1/2 ⁿ .

É apenas um pouco mais difícil determinar a probabilidade de no máximo uma cabeça. Além do único caso em que nenhuma cabeça ocorre, há n casos em que ocorre exatamente uma cabeça, porque pode ocorrer na primeira, segunda, ..., ou n o arremesso. Portanto, existem n + 1 caso favorável à obtenção de no máximo uma cabeça, e a probabilidade desejada é ( n + 1) / 2 ⁿ .

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