• Começa Com Um Estrondo

Esta única equação, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², leva Pitágoras a um nível totalmente novo

Esta tabela de multiplicação simples mostra os primeiros 20 quadrados perfeitos ao longo da diagonal da tabela. Estranhamente, não apenas 3² + 4² = 5², mas 10² + 11² + 12² = 13² + 14². Há mais nessa relação do que mera coincidência. (DOMÍNIO PÚBLICO)

Inacreditavelmente, tudo volta a Pitágoras.

Um dos primeiros teoremas que alguém aprende em matemática é o Teorema de Pitágoras: se você tem um triângulo retângulo, então o quadrado do lado maior (a hipotenusa) sempre será igual às somas dos quadrados dos outros dois lados. A primeira combinação inteira para a qual isso funciona é um triângulo com lados 3, 4 e 5: ³² + ⁴² = ⁵². Existem outras combinações de números para as quais isso também funciona, incluindo:

• 5, 12 e 13,
• 6, 8 e 10,
• 7, 24 e 25,

e infinitamente mais. Mas 3, 4 e 5 são especiais: são os únicos números inteiros consecutivos que obedecem ao Teorema de Pitágoras. Na verdade, eles são os únicos números inteiros consecutivos que permitem que você resolva a equação para ² + b² = c ² em tudo. Mas se você se permitisse a liberdade de incluir mais números, poderia imaginar que poderia haver números inteiros consecutivos que funcionassem para uma equação mais complexa, como a² + b² + c² = d² + e ². Notavelmente, há uma e apenas uma solução: 10² + 11² + 12² = 13² + 14². Aqui está o porquê.

Se você pegar a soma dos quadrados de quaisquer dois catetos de qualquer triângulo retângulo, sempre será igual ao quadrado da hipotenusa. Mas há muito mais nessa relação do que uma simples equação. (HISTORYOFPYTHAGOREANTHEOREM.WEEBLY.COM)

Uma das maneiras mais profundas de olhar para o Teorema de Pitágoras é pensar em um quadrado que tem um certo comprimento em todos os lados: vamos chamar esse comprimento b . A área desse quadrado é b ², porque o comprimento e a largura desse quadrado são multiplicados um pelo outro. Se queremos fazer com que para ² + b ² = c ², e queremos para , b , e c todos serem números consecutivos, então isso coloca enormes restrições sobre para e c .

Significa que c tem que ser igual ( b + 1) e que para tem que ser igual ( b — 1), e essa é uma equação que podemos resolver com apenas um pouco de álgebra.

( b — 1)² + ( b )² = ( b + 1)²,

b ² — 2 b + 1 + b ² = b ² + 2 b + 1

b ² — 4 b = 0.

E, portanto, b tem que ser igual a 0 (o que não é interessante) ou 4, onde 4 nos devolve nossa antiga solução pitagórica de 3² + 4² = 5².

No topo, um quadrado de lado b (azul) pode ser dividido em quatro segmentos. Se você empilhá-los corretamente ao longo dos lados de um quadrado de lado b-1 (amarelo), você pode acabar com um quadrado de lado b+1 (verde), outra maneira de ilustrar o teorema de Pitágoras. (E. SIEGEL)

Mas você também pode resolver isso graficamente. Se você começar com um quadrado que é b em todos os lados, então você pode dividi-lo em linhas com 1 unidade de espessura cada. Como um quadrado tem 4 lados, a única maneira de adicionar essas linhas a um quadrado menor [que é ( b — 1) em todos os lados] e termine com um quadrado maior [que é ( b + 1) em todos os lados] é se você tiver 4 segmentos: um para adicionar em cada lado.

A imagem acima mostra claramente como fazer isso:

• você divide o quadrado do meio em b pedaços de 1 unidade cada,
• você empilha os pedaços ao redor do quadrado menor [de tamanho para , qual é ( b - 1)],
• e terminar com um quadrado maior [de tamanho c , qual é ( c + 1)].

O triângulo retângulo 3, 4, 5, o primeiro conjunto de inteiros a satisfazer o teorema de Pitágoras, é também o único conjunto de números inteiros consecutivos que satisfaz essa equação. (MATHSISFUN.COM)

Esta é a única solução de números inteiros consecutivos que funciona para a equação para ² + b ² = c ². Se você tornasse seu quadrado de tamanho médio maior ou menor, você teria o número errado de linhas para colocar em torno de um quadrado menor para transformá-lo em um quadrado maior; simplesmente não pode ser feito. Para para ² + b ² = c ², os números inteiros consecutivos de 3, 4 e 5 são os únicos que funcionam.

Mas por que se restringir a apenas três números? É possível que você encontre números inteiros consecutivos que satisfaçam esse tipo de relacionamento para qualquer número ímpar de números inteiros consecutivos, como:

• para ² + b² = c ²,
• a² + b² + c² = d² + e ²,
• a² + b² + c² + d² = e ² + f² + g² ,

e assim por diante.

A equação 1⁰² + 1¹² + 1²² = 1³² + 1⁴², cuja resposta é que ambos os lados equivalem a 365, foi imortalizada de uma forma diferente nesta pintura de 1895: Aritmética Mental. Na Escola Pública de S. Rachinsky. (NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY)

Na verdade, se você olhar para a segunda possibilidade, onde a² + b² + c² = d² + e ², você descobrirá que há uma e apenas uma combinação de números que funciona: 10² + 11² + 12² = 13² + 14². Isso dá 100 + 121 + 144 no lado esquerdo, que soma 365, e 169 + 196 no lado direito, que também soma 365.

Se você tivesse a intenção de resolver esse tipo de equação com álgebra, ainda seria capaz de fazê-lo, mas pode demorar um pouco. Você acabaria descobrindo que o número do meio, c , tinha que ser 12 (ou 0, o que novamente não é interessante) e, portanto, a equação completa que funciona é 10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Mas se voltássemos para a mesma abordagem gráfica de antes, poderíamos encontrar a solução de uma maneira notavelmente intuitiva.

Da mesma forma, se quisermos desconstruir um quadrado e usá-lo para transformar dois quadrados menores em dois quadrados maiores, precisamos de 4 unidades para ajustar o tamanho do quadrado em 2 e 8 unidades para ajustar o tamanho do quadrado em 4. Isso significa que um quadrado de tamanho 12 pode transformar um quadrado de 11 e 10 unidades, respectivamente, em quadrados de 13 e 14 unidades. (BIBLIOTECA DO FERMAT, VIA HTTPS://TWITTER.COM/FERMATSLIBRARY/STATUS/887668606712115201 )

Assim como antes, vamos pegar o quadrado do meio (onde todos os seus lados são de comprimento c ) e divida-o em linhas com 1 unidade de espessura. Ao contrário da primeira vez que fizemos esse truque, porém, desta vez temos dois quadrados que precisamos transformar em quadrados maiores usando estas linhas:

1. virando um quadrado menor [onde seus lados são ( c — 1)] em um quadrado maior [cujos lados são todos ( c + 1)], e
2. virando um quadrado ainda menor [cujos lados são todos ( c — 2)] em um quadrado ainda maior [cujos lados são todos ( c + 2)].

Para fazer isso no primeiro quadrado, assim como da última vez, precisamos de um total de quatro linhas com 1 unidade de espessura para fazer isso. Mas para fazer isso no segundo quadrado, precisamos de quatro linhas com 2 unidades de espessura.

Se quisermos usar um quadrado de tamanho c para transformar dois quadrados menores (c-1) e (c-2) em dois quadrados maiores de tamanho (c+1) e (c+2), precisamos de 12 unidades para serem naquele quadrado de tamanho médio para que isso aconteça. (E. SIEGEL)

Tudo dito, isso só funciona se a espessura desse quadrado do meio tiver 12 unidades de espessura, e é por isso que obtemos a equação 10² + 11² + 12² = 13² + 14². Se você tem uma linha que tem 12 unidades por 1 unidade, então você pode pegar quatro delas (4 × 12 = 48) e transformar 11² em 13², já que 121 + 48 = 169. Da mesma forma, você pode pegar oito dessas linhas (8 × 12 = 96), e transforme 10² em 14², pois 100 + 96 = 196. Esta é a única solução de números inteiros consecutivos para a equação a² + b² + c² = d² + e ².

Neste ponto, você pode começar a ver um padrão surgir, o que é sempre interessante do ponto de vista matemático. Podemos ver isso muito mais claramente se dermos o próximo passo e perguntarmos qual seria a solução para a continuação desta equação incluir ainda mais números.

Em outras palavras, como encontraríamos a solução para a equação, a² + b² + c² + d² = e ² + f² + g² ?

Tomando a soma de quatro quadrados perfeitos consecutivos e exigindo que eles sejam iguais à soma dos próximos três quadrados perfeitos é a terceira equação possível que podemos escrever representando uma corrida pitagórica. (E. SIEGEL)

Se adotarmos a abordagem análoga, agora existem três quadrados menores que precisamos transformar em quadrados maiores:

1. um quadrado de lados ( d — 1) precisa se transformar em um quadrado de lados ( d + 1), exigindo quatro unidades de comprimento d ,
2. um quadrado de lados ( d — 2) precisa se transformar em um quadrado de lados ( d + 2), exigindo oito unidades de comprimento d , e
3. um quadrado de lados ( d — 3) precisa se transformar em um quadrado de lados ( d + 3), exigindo doze unidades de comprimento d .

Dado, agora, que precisamos que o quadrado do meio tenha um comprimento de 4 + 8 + 12 = 24, o que nos dá algo que suspeitamos ser nossa solução para essa equação. Se estiver certo, então 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27². Quando fazemos as contas, vemos que isso nos dá 441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729, que confere. Ambos os lados são iguais a 2030, o que significa que são iguais entre si.

Esta ilustração gráfica da terceira Corrida de Pitágoras, que é uma solução para a equação a² + b² + c² + d² = e² + f² + g², ilustra por que 24 é o número crucial para se ter o quadrado do meio. (M. BOARDMAN, MATEMÁTICA MAGAZINE (2000), V. 73, 1, P. 59)

Há um nome especial para esses tipos de sequências em matemática que remetem ao Teorema de Pitágoras e à solução original de 3² + 4² = 5²: Corridas pitagóricas . O padrão que emergiu para o número do meio na sequência é válido até o infinito, como 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, etc. números que satisfizessem esses tipos de equações fossem, você terminaria com:

• 36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,
• 55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²,
• 78² + 79² + … + 83² + 84² = 85² + 86² + … + 89² + 90²,

e assim por diante. O que parece uma coincidência matemática maluca na verdade tem uma explicação profunda, mas direta.

Existem muitas maneiras de resolver e visualizar uma equação pitagórica simples como a² + b² = c², mas nem todas as visualizações são igualmente úteis quando se trata de estender essa equação de várias maneiras matemáticas. (AMERICANXPLORER13 NA WIKIPEDIA INGLESA)

Há 365 dias em um ano (não bissexto) e 10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365. No entanto, este fato matemático não tem nada a ver com o nosso calendário, nem com a rotação do nosso planeta e revolução em torno do Sol. Em vez disso, o número de dias em um ano é pura coincidência aqui, mas a relação matemática é uma consequência direta da geometria pitagórica, algo muito mais fácil de visualizar do que apenas álgebra.

Pitágoras começou com para ² + b² = c ², que tem 3, 4 e 5 como o único conjunto de números consecutivos que o resolvem. Podemos estender isso o quanto quisermos, no entanto, e para cada equação com um número ímpar de termos que podemos escrever, há apenas uma solução única de números inteiros consecutivos. Essas corridas pitagóricas têm uma estrutura matemática inteligente que as governa e, ao entender como os quadrados funcionam, podemos ver por que eles não poderiam se comportar de outra maneira.

Começa com um estrondo é agora na Forbes , e republicado no Medium com um atraso de 7 dias. Ethan é autor de dois livros, Além da Galáxia , e Treknology: A ciência de Star Trek de Tricorders a Warp Drive .

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