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Você deve jogar Powerball? A ciência resolve o mistério

As vendas recordes elevaram o maior jackpot da história dos EUA para US$ 1,5 bilhão, enquanto pessoas sonhando com riquezas cruzavam as fronteiras estaduais e as fronteiras internacionais para comprar ingressos. (Crédito: Kena Betancur/AFP/Getty Images)

O jackpot de US$ 1,5 bilhão da semana passada foi um recorde que provavelmente será quebrado repetidas vezes. Mas quando, se alguma vez, você deve jogar?

Eu fiz o cálculo e suas chances de ganhar na loteria são idênticas, quer você jogue ou não. – Fran Lebowitz

Jogar na loteria é o cenário definitivo de baixo risco e alta recompensa. Se você perder, você terá apenas alguns dólares: o custo da sua aposta. Mas se você ganhar, mesmo que as probabilidades estejam contra você, a recompensa é uma vida inteira de vida fácil. Na semana passada, quarta-feira, 13 de janeiro, foi o jackpot de loteria mais rico da história, com o jackpot da Powerball atingindo uma enorme US$ 1,5 bilhão , um novo recorde em jogos de loteria em todo o mundo.

Menos de 24 horas do sorteio recorde da Powerball. (Crédito: Powerball.com)

Para ganhar, você precisa combinar cinco normal números de loteria — bolas brancas numeradas de 1 a 69 — mais a Powerball: uma bola vermelha numerada de 1 a 26. Cada bilhete Powerball custa $ 2, mais você tem a opção de pagar $ 1 extra para ativar o jogo de poder , um multiplicador que aumenta seu pagamento para prêmios que não são do jackpot.

Dezenas de pessoas fizeram fila do lado de fora da Kavanagh Liquors em San Lorenzo, Califórnia, uma loja que teve vários vencedores multimilionários. (Crédito: Justin Sullivan/Getty Images)

Mas o que a matemática tem a dizer sobre se você deve jogar ou não? Em particular:

• Quais são suas chances de ganhar cada combinação individual?
• Quanto paga cada possibilidade vencedora?
• Vale a pena ativar o jogo de poder opção?
• E, finalmente, quão grande deve ser o jackpot para jogar na loteria Powerball valer a pena?

A ideia de valer a pena é subjetiva para a maioria das pessoas, mas do ponto de vista científico/matemático, tem um significado muito particular. Isso significa que a quantia que você pode esperar ganhar, na média , é maior do que o valor que você tem que apostar para jogar. Se um bilhete de loteria custa $ 1, por exemplo, seria Vale a pena E se:

• Você tinha 51% de chance de ganhar $ 2.
• Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 1.001.
• Ou, você tinha uma chance de 1 em 499.999 de ganhar $ 500.000.

Enquanto não seria Vale a pena E se:

• Você tinha 49% de chance de ganhar $ 2.
• Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 999.
• Ou você tinha uma chance de 1 em 500.001 de ganhar $ 500.000.

Observe como essas diferenças são pequenas, mas como nos casos anteriores, você pode esperar ganhar mais do que apostou, enquanto nos últimos casos, você espera apostar mais do que ganha, pelo menos na média . Os matemáticos chamam essa proporção de quanto você ganha versus quanto você aposta de valor esperado de um problema. Se o seu valor esperado for maior que 1,0, vale a pena jogar.

Os resultados menos prováveis ​​precisam ter um retorno maior para valer a pena; um resultado relativamente provável precisaria apenas de um pagamento modesto para valer a pena. Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons Dan Kernler.

Então, o que isso significa para a Powerball? Em cada jogo da Powerball, você recebe um bilhete com cinco números brancos (de 69 opções possíveis) e um número vermelho (o Powerball, de 26).

Vamos ao primeiro ponto sobre o qual perguntamos: quais são suas chances de ganhar, com cada combinação individual destacada? Aqui está um infográfico que fiz que o detalha.

(Crédito: E. Siegel, 2016)

Suas chances de realmente ganhando o jackpot da Powerball é bem pequeno: um em 292.201.338. Na verdade, suas chances de ganhar nada também não são muito bons, pois o três resultados mais comuns:

• nenhuma correspondência de qualquer tipo (65,23%),
• uma bola branca e nenhuma bola de força (27,18%), e
• duas bolas brancas e nenhuma bola de força (3,565%),

todos pagam absolutamente nada , e somam 95,98% dos resultados possíveis.

Mas isso significa que, 4,02% das vezes, você vontade ganhar algo. E se – em média – pagar o suficiente, valerá a pena apostar.

Crédito da imagem: captura de tela do site oficial da Powerball, em http://www.powerball.com/powerball/pb_prizes.asp .

Então, se essas são as possibilidades de pagamento, o que isso significa em termos de valor esperado ? Em outras palavras, cada vez que você joga na loteria, você tem uma pequena chance de ganhar um determinado prêmio, e se você multiplicar seus ganhos esperados por suas chances de ganhar cada opção , você obtém o valor esperado para cada opção. (E lembre-se, o custo de um bilhete para a Powerball é de $ 2,00.)

Vamos resolver isso! Voltaremos ao Jackpot daqui a pouco, porque é um pouco mais complicado. Mas vamos dar uma olhada em todas as outras opções - mais prováveis, mas não Jackpot - primeiro.

(Crédito: E. Siegel, 2016)

Para cada bilhete de US $ 2 que você compra, você pode esperar recuperar, em média:

• cerca de US$ 0,15 dos pagamentos periódicos de US$ 4,
• cerca de US$ 0,02 dos pagamentos periódicos de US$ 7,
• cerca de US$ 0,01 dos pagamentos periódicos de US$ 100,
• cerca de US$ 0,05 dos pagamentos periódicos de US$ 50.000, e
• cerca de US$ 0,09 dos pagamentos periódicos de US$ 1.000.000.

Ao todo, as opções sem jackpot fazem com que cada bilhete valha cerca de US$ 0,32, o que é um grito distante dos $2 que você investiu. Isso nos ensina duas coisas:

1. Dá-nos as informações que precisamos para descobrir quanto vale a opção Power Play.
2. Ele nos informa quanto o Jackpot precisa pagar para que a compra de um bilhete da Powerball valha a pena, matematicamente.

Primeiro, o jogo de poder.

Captura de tela e cabeçalhos do site oficial da Powerball. (Crédito: Powerball.com)

A opção Power Play – que custa US$ 1,00 a mais, transformando um ingresso de US$ 2 em um ingresso de US$ 3 – faz o seguinte:

• não tem efeito sobre o Jackpot/Grande Prêmio,
• sempre duplos o pagamento do segundo prêmio mais lucrativo, e
• tem uma chance de 1 em 1,75 de dobrar os outros prêmios, uma chance de 1 em 3,23 de triplicá-los e uma chance de 1 em 14 de quadruplicar ou uma chance de 1 em 21 de quintuplicar.
• ou, se o multiplicador de 10x estiver ativo, reduzindo um pouco as chances de todas as outras opções e adicionando uma chance de 1 em 43 de multiplicar os outros prêmios por dez.

Então, qual é o retorno extra esperado para esse investimento extra de $ 1?

Leva as opções sem jackpot, na média , de $ 0,32 para $ 0,81. Isso significa que você está gastando US$ 1,00 extra para aumentar seu pagamento esperado em US$ 0,49, um péssimo negócio de qualquer forma que você o faça. Na verdade, ainda que você acertou a opção 5x, o que acontece apenas cerca de 5% das vezes, você só aumenta seus ganhos esperados para $ 1,34 para as opções sem jackpot, o que aumenta seus ganhos em apenas $ 1,02. Isso é o que você precisa para valer a pena pegar a opção Power Play: um multiplicador garantido de 5x ou mais. O fato de o segundo maior pagamento ser apenas o dobro, não importa qual seja o multiplicador do Power Play, torna isso um negócio bruto de qualquer maneira que você o corte.

Em outras palavras, você nunca deve tomar o Power Play opção.

Então, finalmente, chegamos ao grande prêmio: o Jackpot, ou o Grande Prêmio, que você ganha ao acertar todos os cinco números mais a Powerball, algo que tem uma chance em 292.201.338 de acontecer.

Frank e Shirley Capaci de Streamwood, Il ganharam $ 104 milhões na loteria Powerball em maio. (Crédito: Daniel Lippitt/AFP/Getty Images)

Você pensaria, talvez, que se um bilhete da Powerball custa US$ 2 e você tem um valor esperado de US$ 0,32 do restante do bilhete, desde que seu valor esperado seja de US$ 1,68 ou mais do Grande Prêmio Powerball, você virá à frente, e você deve jogar.

Essa lógica é boa, a propósito: você está certo! Se o seu bilhete valer mais de $ 2 no total, claro você deve gastar US $ 2 nele.

Mas você pode dar o próximo passo e dizer que, como minhas chances de ganhar o Jackpot são de 1 em 292.201.338, tudo o que preciso fazer é descobrir qual pagamento corresponde a esse valor esperado e, se o Jackpot for maior que isso, Eu vou jogar. Encontrar esse valor não é tão difícil: são US$ 245.449.123,92. Mas se você jogar na loteria quando o Jackpot for desse tamanho, você sairá atras do , ainda, por dois motivos.

Mesmo depois que o fiscal chamar, o jackpot da Powerball pode tornar o sortudo vencedor mais rico do que a boy band britânica One Direction, o astro do futebol Lionel Messi, o campeão de tênis suíço Roger Federer e a estrela americana Beyoncé. (Crédito: Kena Betancur/AFP/Getty Images)

Um desses motivos é impostos . Isso mesmo: você não consegue manter 100% de seus ganhos, embora você está responsável por 100% dos custos das passagens. O jackpot anunciado é quanto você ganharia, para -impostos, se você adiou os pagamentos por um longo período de tempo.

Se, em vez disso, você recebeu um pagamento único (que é drasticamente reduzido para cerca de 63% do valor anunciado), e então pagou impostos (estaduais e federais) sobre isso, você descobriria algo chocante: você só consegue manter 37,2% do valor do Grande Prêmio! (Depende dos impostos do seu estado, que são estimados em cerca de 6%.) Na verdade, os impostos estaduais e federais seriam um grande negócio para o de outros , prêmios menores sobre os quais falamos anteriormente, o que reduziria o prêmio de $ 1.000.000 para apenas cerca de $ 590.000 e reduziria o valor dos outros pagamentos de um total de $ 0,36 para cerca de $ 0,26, um negócio muito pior.

Para atingir o ponto de equilíbrio e ter um bilhete de US$ 2 na verdade valendo US$ 2 quando você inclui os impostos, você precisaria que o Jackpot chegasse a um valor colossal US$ 1,4 bilhão , que só hoje O Powerball Jackpot atingiu o topo de toda a história.

Mas mesmo isso faz uma suposição: que se você ganhar, isso seu bilhete premiado será a única bilhete premiado, o que contraria os factos. Como você bem sabe, as pessoas são muito mais propensas a Comprar bilhetes de loteria quando o Jackpot é enorme. Embora você possa pensar que isso não significaria muito com chances incrivelmente longas, uma vez que você começa a vender mais de cerca de 70 milhões de ingressos, as chances de mais de uma pessoa ganhar o jackpot aumentam extremamente rapidamente, como demonstrou a pesquisa de Jeremy Elson sobre o assunto.

(Crédito: Jeremy Elson, via http://www.circlemud.org/jelson/megamillions/ .)

Com base em vários Jackpots que vimos, uma vez que o Jackpot anunciado ultrapassa cerca de US$ 300 milhões, as vendas de ingressos aumentam exponencialmente, com os maiores jackpots resultando em centenas de milhões de ingressos vendidos.

A questão é que nem todo mundo recebe um conjunto único de números: muitos bilhetes compartilham os mesmos números, de modo que, se você chegar a, digamos, um Jackpot anunciado de cerca de US$ 700 milhões, você esperaria vender cerca de 190 milhões de bilhetes para o sorteio. . Mesmo que as chances de qualquer bilhete individual acertar o Jackpot sejam de 1 em 292.201.338, as chances que apenas 1 pessoa vai ganhar esse Jackpot é muito menor do que você imagina: cerca de 37%. Haveria 34% de chance de que ninguém ganharia o Jackpot e uma chance de 29% de que duas ou mais pessoas ganhassem.

O que é louco - e pouco intuitivo - é que, à medida que o Jackpot aumenta cada vez mais, porque mais e mais bilhetes são vendidos, o menos valioso cada bilhete se torna! Um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 1.500 milhões (ou US$ 1,5 bilhão), na verdade, valeria apenas cerca de metade tanto quanto um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 500 milhões, porque você provavelmente teria que dividir o Jackpot, mesmo se ganhasse, com três a sete outras pessoas. E isso é provavelmente o que vai acontecer esta noite.

Esses números são para a antiga loteria Powerball, substituída há cerca de 4 meses para aumentar os jackpots. (Crédito: Jeremy Elson, via http://www.circlemud.org/jelson/megamillions .)

Quando você pega os dois impostos e dividir jackpots em conta, você descobre que, mesmo em seu valor máximo, um bilhete Powerball de US$ 2 vale apenas cerca de US$ 0,852, ou apenas 43% do que você pagou por ele.

Há muito se diz que os bilhetes de loteria são um imposto para quem não sabe fazer contas, e agora você viu a prova matemática disso. Se você quiser comprar um bilhete Powerball para se divertir, vá em frente. Esteja ciente de que, para cada US $ 2 que você gasta, você está doando cerca de US $ 1,15 para qualquer programa governamental que a Powerball apóie e apostando apenas US $ 0,85 em qualquer coisa que você possa ganhar em uma loteria justa.

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