Desvio de fim de semana: zoom em um fractal
Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons Medvedev.
Basta abrir os olhos, colocar em tela cheia e assistir.
https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk
Explorando este conjunto certamente nunca tive a sensação de invenção. Nunca tive a sensação de que minha imaginação fosse rica o suficiente para inventar todas essas coisas extraordinárias ao descobri-las. Eles estavam lá, embora ninguém os tivesse visto antes. É maravilhoso, uma fórmula muito simples explica todas essas coisas muito complicadas. Assim, o objetivo da ciência é começar com uma bagunça e explicá-la com uma fórmula simples, uma espécie de sonho da ciência. -Benoit Mandelbrot
Às vezes, as palavras não fazem jus ao que uma imagem pode ilustrar. Ouça uma ótima trilha sonora para os seguintes visuais em Eu a tenho a música de, A noite cai em Hoboken ,
enquanto você considera o conjunto de Mandelbrot , e o que é um fractal.
Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons Wolfgang Beyer .
Você está acostumado com números reais: ou seja, números que podem ser expressos como um decimal, mesmo que seja um decimal arbitrariamente longo e sem repetição. Há também complexo números, que são números que têm uma parte real e também uma parte imaginária. A parte imaginária é igual à parte real, mas também é multiplicada por eu , ou a raiz quadrada de -1.
E o conjunto de Mandelbrot consiste em todos os números complexos possíveis, n , onde a sequência n , n^2 + n , ( n^2 + n)^2 + n , etc. — onde cada novo termo é o anterior termo, ao quadrado, mais n — não vai para o infinito positivo ou negativo.
Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons Wolfgang Beyer .
Matematicamente, tem algumas propriedades surpreendentemente interessantes. Mesmo que a fronteira do conjunto faça uma linha muito complicada através do plano complexo, essa linha não tem apenas um comprimento infinito, ela encerra uma linha finita e quantificável área, que chega a pouco mais de um ano e meio .
O que visualizamos como esses padrões intrincados ao aumentar o zoom na verdade representa a fronteira entre o que está realmente no conjunto de Mandelbrot e o que está fora dele, com o código de cores normalmente representando o quão longe algo está fora do conjunto.
Crédito da imagem: canal do YouTube Universo Fractal, via https://www.youtube.com/watch?v=zXTpASSd9xE .
O que é notável é o quão complexo e auto-repetitivo esse conjunto é, e como o zoom permite que você veja pequenas regiões que têm – até onde sabemos – propriedades idênticas ao conjunto inteiro. Chamamos essa propriedade auto-semelhança , o que significa que uma pequena região tem as mesmas ou quase as mesmas propriedades que uma região maior ou a coisa toda.
Crédito das imagens: António Miguel de Campos (L), de quase auto-semelhança; Ishaan Gulrajani (R), de uma região de verdadeira auto-semelhança.
diferente simples Em alguns casos, no entanto, a complexidade de um fractal é o que o diferencia: há uma estrutura arbitrariamente detalhada, não importa quão fina seja a escala em que você amplie.
Crédito da imagem: usuário do Wikimedia Commons Wolfgang Beyer .
O que é mais incrível? Conseguimos aumentar o zoom por mais de um fator de 10^200 , ou mais de um googol ao quadrado , e ainda encontramos essa mesma auto-semelhança e as mesmas estruturas notáveis e intrincadas. Existem ideias de que talvez o Universo seja auto-semelhante assim, mas se for, há um limite finito: as maiores escalas observáveis são apenas 92 bilhões de anos-luz ou mais (de uma borda do Universo observável à outra), enquanto a menor escala teórica, a escala de Planck, está em torno de 10^-35 metros. Ao todo, são apenas 62 ordens de magnitude, o que nem leva em conta o fato de que as forças não gravitacionais começam a desempenhar papéis importantes em escalas do tamanho de galáxias e menores.
No entanto, a matemática não está limitada pelas leis físicas do nosso Universo, o que nos permite algumas visualizações incríveis com diferentes esquemas de identificação de cores. Aqui estão alguns dos meus favoritos.
Para aqueles que se perguntam, Mandelbrot – o desenvolvedor mais importante da geometria fractal – viveu até os 85 anos, morrendo apenas em 2010, o que significa que ele viveu para testemunhar os avanços na tecnologia computacional que permitiram essas visualizações impressionantes que seu trabalho matemático não apenas antecipou, mas exigiu.
E com esses vídeos para encerrar tudo, espero que você tenha um ótimo final de semana, ou sempre que puder assistir a eles. Aproveitar!
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