Diversão de fim de semana: Triângulos, um quebra-cabeça e beleza
Crédito da imagem: Pirâmide de Sierpinski pelo usuário do Wikimedia Commons Solkoll.
Se você já se deparou com este famoso quebra-cabeça de quantos triângulos ou não, você terá um prazer ao ver a magnificência da solução.
Aritmética! Álgebra! Geometria! Trindade grandiosa! Triângulo luminoso! Quem não te conheceu não tem juízo! – Conde de Lautréamont
Quando você pensa sobre isso, é incrível que nosso universo físico faça sentido. O fato de podermos observar o que está acontecendo, determinar as leis que o regem e prever o que acontecerá sob circunstâncias iguais ou semelhantes é o poder mais notável que a ciência tem. Se é isso que você está fazendo em qualquer aspecto de sua vida, parabéns, você é um cientista . Mas isso não nos diz, fundamentalmente, como é o Universo em seu nível mais básico. Somos feitos de partículas pontuais? Ou são construções geométricas? Somos ondulações no próprio Universo? De certa forma, Eles podem ser gigantes pode estar refletindo exatamente sobre isso em sua música que apresento a vocês neste fim de semana,
Na raiz de tudo isso está a matemática, que à sua maneira é bonita, elegante e, por acaso, é nossa base para dar sentido ao Universo. E no que parecia ser um quebra-cabeça simples, vi uma imagem parecida com essa circulando pela internet e circulando no Facebook.
Quantos triângulos há nesta imagem? 92,6% dos americanos erram essa pergunta!
É bem direto: um triângulo equilátero com três linhas extras saindo de dois dos vértices, junto com a questão de quantos triângulos? pode ser encontrado nesta imagem.
Tente resolvê-lo você mesmo, se quiser, antes de continuar lendo, onde explicarei a resposta correta e mostrarei um padrão matemático divertido e bonito que também está lá.
Como pode ser esperado, vi um grande número de tentativas de responder a isso, incluindo algumas errôneas bastante sofisticadas.
Crédito da imagem: fonte desconhecida, recuperada de Irena Haj.
Faz sentido tentar construir triângulos de cada um dos pontos onde as linhas se cruzam, mas você deve ter cuidado para não contar triângulos duplos ou triplos. O número acima é muito alto, pois a resposta não é setenta.
Crédito da imagem: Patryk Solarczyk.
Essa tentativa de resposta foi particularmente incômoda, porque — alerta de spoiler — 64 é a resposta certa , mas este diagrama está totalmente errado, faltando alguns triângulos que estão realmente lá e contando um número de triângulos duas vezes. (Por exemplo, olhe para a quinta linha, no triângulo vermelho na primeira coluna, e veja como isso é o mesmo que o triângulo verde na sexta linha, segunda coluna.)
Quando alguém obtém a resposta certa pelo motivo errado, é particularmente agravante, porque são necessários vários erros para que isso aconteça. Então, eu gostaria de mostrar a você um método infalível para mostrar todos os triângulos únicos neste diagrama e, quando terminarmos, veremos um padrão e obteremos uma fórmula para aprender algo divertido e bonito.
Todos os pontos de linhas de interseção dentro do nosso triângulo.
Vamos começar na parte inferior do triângulo, com os dois vértices da base. À medida que avançamos no diagrama, vamos progressivamente nos deparar com pontos onde duas linhas se cruzam, rotuladas acima na ordem em que as encontraremos.
Cada vez que o fizermos, contaremos todos os novo triângulos únicos usando o novo ponto de interseção e um (ou ambos) dos dois vértices da base na parte inferior do triângulo. Para evitar a contagem dupla, só criaremos triângulos usando pontos abaixo nosso ponto atual, garantindo que nunca contaremos o mesmo triângulo duas vezes. Você também notará que alguns pontos - rotulados como 2 e 3, 4 e 5, 6 e 7, 9 e 10, 11 e 12, e 14 e 15 - são reflexos espelhados um do outro, então esses conjuntos melhor nos dão a mesmo número de triângulos.
Vamos passar por esses pontos, de 1 a 16, e ver o que obtemos.
Ponto #1 como um vértice necessário em cada triângulo.
Para o primeiro ponto a que chegamos, há apenas um triângulo possível usando os pontos abaixo dele: há três pontos em um triângulo e esse triângulo usa todos eles.
Fácil o suficiente, então é para o próximo (s) acima.
Pontos #2 e #3 como um vértice necessário em cada triângulo.
Como você pode ver, cada um desses novos pontos pode fazer dois novos triângulos, um usando os dois vértices da base e outro usando nosso ponto de interseção #1, que agora é uma opção para fazer um triângulo. Esse padrão continuará à medida que continuamos a subir, já que todos os pontos mais baixos agora se tornam um jogo justo.
Então vamos para os pontos 4 e 5.
Pontos #4 e #5 como um vértice necessário em cada triângulo.
Existem três novos triângulos que podemos construir para cada um deles, como você pode ver. Isso é bastante simples, assim como os pontos 6 e 7, abaixo.
Pontos #6 e #7 como um vértice necessário em cada triângulo.
Quatro novos triângulos cada, usando todos os pontos inferiores permitidos como vértices possíveis. Até agora, tudo bem: sem contagem dupla e sem triângulos perdidos. E subindo mais um, para o ponto de interseção #8, finalmente fica um pouco interessante.
Ponto #8 como um vértice necessário em cada triângulo.
Por que este — ponto 8 — é interessante em comparação com os outros? Porque, pela primeira vez, podemos construir triângulos novos, únicos e bem-sucedidos que se conectam qualquer um dos vértices de base, algo que teremos que ter em mente para todos os nossos pontos subsequentes.
Pontos #9 e #10 como um vértice necessário em cada triângulo.
Vamos subir e atingir os pontos 9 e 10.
Os pontos 9 e 10 nos dão quatro novos triângulos únicos cada, conectando-se a um (ou ambos) vértice de base (ou vértices), conforme apropriado.
Pontos #11 e #12 como um vértice necessário em cada triângulo.
E para os pontos 11 e 12, temos cinco cada. Sinta-se à vontade para verificar: todos esses triângulos, até agora, são únicos e encapsulam todos eles. Temos apenas quatro pontos de interseção restantes, então vamos derrubá-los todos!
Ponto #13 como um vértice necessário em cada triângulo.
Mais cinco para o ponto de interseção #13…
Pontos #14 e #15 como um vértice necessário em cada triângulo.
Seis cada para os pontos #14 e 15, e para o ponto final, mais alto…
Ponto #16 como um vértice necessário em cada triângulo.
Sete! Tudo dito, podemos somá-los e obter 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 = 64 , e então existem, de fato, 64 triângulos únicos aqui.
Agora, 64 é um número interessante: é um quadrado perfeito (8^2 = 64), é um cubo perfeito (4^3 = 64), e você pode se perguntar se está relacionado ao número de linhas extras que saem desses dois vértices da base. Nós vamos, isto é , mas o padrão é realmente fantástico. Vamos mostrar o que obtemos se contarmos o número de novos triângulos que conseguimos criar - usando cada novo ponto como um vértice necessário - à medida que subimos no triângulo.
Número de triângulos criados em cada novo vértice, indo para cima.
Agora, esse é um belo padrão, e acontece de ser muito intimamente relacionado com o número de linhas - neste caso, 4 - saindo de cada vértice da base do triângulo.
Se apenas tivéssemos 1 , teríamos apenas a linha mais baixa de cada vértice, o que significa que teríamos apenas 1 triângulo.
Se apenas tivéssemos dois , teríamos as duas linhas mais baixas de cada vértice, obtendo um total de 8 triângulos: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 1 = 8.
Se apenas tivéssemos três , obteríamos as três linhas mais baixas de cada vértice, para um total de 27 triângulos: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2 + 5 x 1 = 27.
E como você pode ver, por quatro , obtemos 64: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 + 7 x 1 = 64.
E, como você deve ter notado, 1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27 e 4^3 = 64, então é assim que o padrão funciona! Então vá em frente e desenhe um triângulo com um número arbitrário de linhas vindo de ambos os vértices; você não apenas conhecerá agora o padrão, incluindo quantos triângulos você pode gerar como cada vértice à medida que se move para cima, mas também conhecerá uma maneira incrível de gerar os cubos de números perfeitos! Que matemática divertida e bonita, e espero que ajude a trazer a você não apenas um ótimo fim de semana, mas também paz de espírito e encerramento deste enigma épico do triângulo!
Uma versão anterior deste post apareceu originalmente no antigo blog Starts With A Bang em Scienceblogs.
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