Método dos mínimos quadrados

Método dos mínimos quadrados , também chamado aproximação de mínimos quadrados , em estatística, um método para estimar o valor verdadeiro de alguma quantidade com base em uma consideração de erros em observações ou medições. Em particular, a linha (a função Y eu = para + b x eu , Onde x eu são os valores nos quais Y eu é medido e eu denota uma observação individual) que minimiza a soma das distâncias quadradas (desvios) da linha para cada observação é usada para aproximar uma relação que é considerada linear. Ou seja, a soma de tudo eu de ( Y eu - para - b x eu )doisé minimizado definindo as derivadas parciais da soma em relação a para e b igual a 0. O método também pode ser generalizado para uso com relacionamentos não lineares.

Uma das primeiras aplicações do método dos mínimos quadrados foi para resolver uma controvérsia envolvendo Da terra forma. O matemático inglês Isaac Newton afirmado no princípios (1687) que a Terra tem um oblato ( Toranja ) forma devido ao seu spin - fazendo com que o diâmetro equatorial exceda o diâmetro polar em cerca de 1 parte em 230. Em 1718, o diretor do Observatório de Paris, Jacques Cassini, afirmou com base em suas próprias medições que a Terra tem um prolato (limão ) forma.



Para resolver a disputa, em 1736 a Academia Francesa de Ciências enviou expedições de levantamento para Equador e Lapônia. No entanto, as distâncias não podem ser medidas perfeitamente e os erros de medição na época eram grandes o suficiente para criar uma incerteza substancial. Vários métodos foram propostos para ajustar uma linha através desses dados - ou seja, obter a função (linha) que melhor se ajusta aos dados que relacionam o comprimento do arco medido à latitude. Foi geralmente aceito que o método deveria minimizar desvios no Y -direcção (o comprimento do arco), mas muitas opções estavam disponíveis, incluindo minimizar o maior desses desvios e minimizar a soma dos seus tamanhos absolutos (conforme representado nofigura) As medições pareciam apoiar a teoria de Newton, mas as estimativas de erro relativamente grandes para as medições deixaram muita incerteza para uma conclusão definitiva - embora isso não tenha sido imediatamente reconhecido. Na verdade, embora Newton estivesse essencialmente certo, observações posteriores mostraram que sua previsão para o diâmetro equatorial excessivo era cerca de 30% grande.



Medindo a forma da Terra usando a aproximação dos mínimos quadrados O gráfico é baseado em medições feitas por volta de 1750 perto de Roma pelo matemático Ruggero Boscovich. O eixo x cobre um grau de latitude, enquanto o eixo y corresponde ao comprimento do arco ao longo do meridiano, medido em unidades de toise de Paris (= 1,949 metros). A linha reta representa a aproximação de mínimos quadrados, ou inclinação média, para os dados medidos, permitindo ao matemático prever comprimentos de arco em outras latitudes e, assim, calcular a forma da Terra.

Medindo a forma da Terra usando a aproximação dos mínimos quadrados. O gráfico é baseado em medições feitas por volta de 1750 perto de Roma pelo matemático Ruggero Boscovich. O x -eixo cobre um grau de latitude, enquanto o Y -eixo corresponde ao comprimento do arco ao longo do meridiano, medido em unidades de toise de Paris (= 1,949 metros). A linha reta representa a aproximação de mínimos quadrados, ou inclinação média, para os dados medidos, permitindo ao matemático prever comprimentos de arco em outras latitudes e, assim, calcular a forma da Terra. Encyclopædia Britannica, Inc.

Em 1805, o matemático francês Adrien-Marie Legendre publicou a primeira recomendação conhecida para usar a linha que minimiza a soma dos quadrados desses desvios - ou seja, o método moderno dos mínimos quadrados. O matemático alemão Carl Friedrich Gauss, que pode ter usado o mesmo método anteriormente, contribuiu com importantes avanços computacionais e teóricos. O método dos mínimos quadrados agora é amplamente usado para ajustar linhas e curvas a gráficos de dispersão (conjuntos discretos de dados).



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