11 curiosidades para ajudar a comemorar o Dia do Pi
É o número transcendental mais conhecido de todos os tempos, e 14 de março (3/14 em muitos países) é o momento perfeito para celebrar o Dia do Pi (π)!- π, ou 'Pi' como às vezes o chamamos, é a razão entre a circunferência de um círculo perfeito e seu diâmetro e aparece em muitos lugares interessantes, matematicamente.
- Mas o dia π, comemorado em 14 de março (14/3) nos EUA e (às vezes) em 22 de julho (22/7) em países com 'primeiro encontro', é mais do que apenas uma desculpa para comer torta.
- É também uma grande oportunidade de aprender alguns fatos matemáticos incríveis sobre π, incluindo alguns que até mesmo os maiores nerds da matemática entre vocês podem não saber!
Assim como acontece todos os anos, 14 de março está chegando. Embora existam muitas razões para comemorar o dia, os residentes com inclinação matemática de qualquer país que escreva a data no estilo (mês/dia) devem ficar imediatamente entusiasmados com a perspectiva de ver os números “3” e “14” um ao lado do outro, como 3,14 é notoriamente uma boa aproximação para um dos números mais conhecidos que não podem ser escritos como apenas um simples conjunto de dígitos: π. Pronunciado “pi” e comemorado mundialmente pelos entusiastas da panificação como “dia do Pi”, também é uma ótima oportunidade para compartilhar alguns fatos sobre π com o mundo.
Embora os dois primeiros fatos que você lerá aqui sobre π sejam geralmente muito conhecidos, duvido seriamente que alguém, mesmo um matemático de verdade, chegue ao final da lista e conheça todos os 11 desses fatos. Acompanhe e veja como você se sai bem!
O número transcendental, π, remonta à antiguidade e tem como definição que é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. O fato de ser aproximadamente 3,14 como decimal, ou 22/7 como fração, levou ao feriado inventado conhecido como “dia do Pi”.1.) Pi, ou π como vamos chamá-lo a partir de agora, é a razão entre a circunferência de um círculo perfeito e seu diâmetro . Uma das primeiras lições que dei quando comecei a ensinar foi fazer com que meus alunos trouxessem qualquer “círculo” de casa. Pode ser uma forma de torta, um prato de papel, uma caneca com fundo ou tampa circular, ou qualquer outro objeto que tenha um círculo em algum lugar, com apenas um problema: eu daria a você uma fita métrica flexível e você 'teria que medir a circunferência e o diâmetro do seu círculo.
Com mais de 100 alunos entre todas as minhas turmas, cada aluno pegou sua circunferência medida e a dividiu pelo diâmetro medido, o que deveria ter dado uma aproximação para π. Acontece que sempre que eu executo esse experimento e faço a média de todos os dados dos alunos juntos, a média sempre chega a algo entre 3,13 e 3,15: geralmente chegando a 3,14, que é a melhor aproximação de 3 dígitos de π de todas . Aproximar π, embora existam muitos métodos melhores do que este bruto que usei, infelizmente é o melhor que você pode fazer.
Embora seja tentador tentar representar a quantidade π como uma fração, com estimativas comuns como 22/7 fazendo um bom trabalho, verifica-se que não há uma representação exata desse número, π, na forma fracionária.2.) π não pode ser calculado exatamente, porque é impossível representá-lo como uma fração de números exatos (inteiros) . Se você pode representar um número como uma fração (ou proporção) entre dois números inteiros, ou seja, dois números inteiros de valores positivos ou negativos, esse é um número cujo valor você pode saber exatamente. Isso é verdade para números cujas frações não se repetem, como 2/5 (ou 0,4), e é verdade para números cujas frações se repetem, como 2/3 (ou 0,666666…).
Mas π, como todos os números irracionais, não pode ser representado desta forma e não pode ser calculado exatamente como resultado. Tudo o que podemos fazer é aproximar π e, embora tenhamos feito isso extremamente bem com nossas modernas técnicas matemáticas e ferramentas de cálculo, também temos feito um bom trabalho historicamente, mesmo voltando a milhares de anos.
Uma das maneiras de aproximar a área dentro de um círculo, que permite uma aproximação de π para qualquer diâmetro conhecido, é inscrever ou circunscrever um polígono regular que toca um círculo na localização N, onde “N” é o número de lados em seu polígono regular. Isso é mostrado para um pentágono, hexágono e octógono, respectivamente. Arquimedes usou até um polígono de 96 lados para obter suas melhores aproximações para π.3.) O “método de Arquimedes” tem sido usado para aproximar π por mais de 2000 anos . Calcular a área de um círculo é difícil, especialmente se você ainda não sabe o que é “π”. Mas calcular a área de um polígono regular é fácil, especialmente se você conhece a fórmula da área de um triângulo e percebe que qualquer polígono regular pode ser dividido em uma série de triângulos isósceles. Você tem dois caminhos a seguir:
- você pode inscrever um polígono regular dentro de um círculo e saber que a área 'verdadeira' do seu círculo deve ser maior que isso,
- ou você pode circunscrever um polígono regular na parte externa de um círculo e saber que a área “verdadeira” de seu círculo deve ser menor que isso.
Quanto mais lados você criar em seu polígono regular, em geral, mais próximo você chegará do valor de π. No século III aC, Arquimedes tomou o equivalente a um polígono de 96 lados para aproximar π e descobriu que ele deve estar entre as duas frações 220/70 (ou 22/7, razão pela qual o dia π na Europa é o dia 22 de Julho) e 223/71. Os equivalentes decimais para essas duas aproximações são 3,142857… e 3,140845…, o que é bastante impressionante para mais de 2.000 anos atrás!
Esta estátua mostra o matemático chinês do século V Zu Chongzhi e é encontrada no Parque Tinglin em Kunshan. Zu Chongzhi encontrou a maior aproximação fracionária de π com um denominador menor que 10.000: 355/113. Foi a melhor aproximação para π no mundo até aproximadamente o final do século XIV.4.) A aproximação para π conhecida como fuso , descoberto pelo matemático chinês Zu Chongzhi , foi a melhor aproximação fracionária de π por cerca de 900 anos: a mais longa “melhor aproximação” na história registrada . No século 5, o matemático Zu Chongzhi descobriu a notável aproximação fracionária de π: 355/113. Para aqueles de vocês que gostam da aproximação decimal de π, isso resulta em 3,14159292035… que obtém os primeiros sete dígitos de π corretos e está apenas fora do valor verdadeiro em cerca de 0,0000002667, ou 0,00000849% do valor verdadeiro.
De fato, se você calcular as melhores aproximações fracionárias de π em função do denominador crescente:
Começar com a fração “3/1” e aumentar o numerador ou o denominador permite calcular aproximações fracionárias cada vez mais superiores para π, com 355/113 fazendo a melhor aproximação que se pode encontrar com um diâmetro abaixo de 10.000.você não encontrará um superior até encontrar a fração 52163/16604, que é apenas um pouco melhor. Enquanto 355/113 diferia do valor real de π em 0,00000849%, 52163/16604 difere do valor real de π em 0,00000847%.
Esta notável fração, 355/113, foi a melhor aproximação de π que existiu até o final do século 14/início do século 15, quando o matemático indiano Madhava de Sangamagrama surgiu com um método superior para aproximar π: um baseado na soma de séries infinitas.
Todos os números reais podem ser divididos em grupos: os números naturais são sempre zero ou positivos, os inteiros estão sempre em incrementos de números inteiros, os racionais são todos razões de inteiros e os irracionais podem ser expressos como sendo derivados de uma equação polinomial (algébrica real). ) ou não (transcendental). No entanto, os transcendentais são sempre reais, mas existem soluções algébricas complexas para equações polinomiais que se estendem ao plano imaginário.5.) π não é apenas um número irracional, mas também um transcendental número, que tem um significado especial . Para ser um número racional, você precisa ser capaz de expressar seu número como uma fração com números inteiros como numerador e denominador. Por essa conta, π é irracional, mas também é um número como a raiz quadrada de um inteiro positivo, como √3. No entanto, há uma grande distinção entre um número como √3, conhecido como número “algébrico real”, e π, que não é apenas irracional, mas também transcendental.
A diferença?
Se você pode escrever uma equação polinomial com expoentes e fatores inteiros e usar apenas somas, diferenças, multiplicação, divisão e expoentes, todas as soluções reais para essa equação são números algébricos reais. Por exemplo, √3 é uma solução para a equação polinomial, x² – 3 = 0 , com -√3 como sua outra solução. Mas tais equações não existem para nenhum número transcendental, incluindo π, e, e c .
Por muito tempo foi considerado um “santo graal” da matemática ser capaz de fazer a quadratura do círculo: construir um quadrado com área π, dado um círculo de circunferência π, usando apenas compasso e régua. Se π é transcendental, o que é, isso não pode ser feito, embora isso não tenha sido provado até 1882.Na verdade, um dos quebra-cabeças matemáticos não resolvidos mais famosos da história é criar um quadrado com a mesma área de um círculo usando apenas um compasso e uma régua. De fato, a diferença entre os dois tipos de números irracionais, os algébricos reais e os transcendentais, pode ser usada para provar que a construção de um quadrado cujo comprimento tenha um lado de “√π” é impossível dado um círculo de área “π” e um compasso e uma régua sozinho.
Claro, isso não foi provado até 1882, mostrando o quão complicado é provar rigorosamente algo que parece óbvio (ao se esgotar) em matemática!
Se você jogasse dardos completamente ao acaso, alguns deles cairiam dentro do círculo, enquanto outros cairiam dentro do quadrado, mas não dentro do círculo. A proporção de “dardos totais dentro do círculo” para “dardos totais dentro do quadrado, incluindo dardos dentro do círculo” é π/4, o que permite aproximar π simplesmente jogando dardos!6.) Você pode simplesmente aproximar π jogando dardos . Quer aproximar π, mas não quer fazer nenhuma matemática mais avançada do que simplesmente “contar” para chegar lá?
Sem problemas, simplesmente pegue um círculo perfeito, desenhe um quadrado ao redor dele, onde um dos lados do quadrado seja exatamente igual ao diâmetro do círculo, e comece a lançar dardos. Você descobrirá imediatamente que:
- alguns dos dardos caem dentro do círculo (opção 1),
- alguns dos dardos caem fora do círculo, mas dentro do quadrado (opção 2),
- e alguns dardos caem fora do quadrado e do círculo (opção 3).
Contanto que seus dardos estejam realmente caindo em um local aleatório, você descobrirá que a proporção de “os dardos que caem dentro do círculo (opção 1)” para “os dardos que caem dentro do quadrado (opções 1 e 2 combinadas )” é precisamente π/4. Este método de aproximação de π é um exemplo de uma técnica de simulação muito utilizada em física de partículas: o método de Monte Carlo. Na verdade, se você escrever um programa de computador para simular esse tipo de alvo de dardos, parabéns, você acabou de escrever seu primeiro Simulação de Monte Carlo !
Embora π possa ser aproximado com uma fração simples, existem sequências de frações conhecidas como “frações contínuas” que, se realmente tomarmos um número infinito de termos, poderiam calcular π com qualquer precisão arbitrária.7.) Você pode, de maneira excelente e relativamente rápida, aproximar π usando uma fração contínua . Embora você não possa representar π como uma fração simples, assim como não pode representá-lo como uma dízima finita ou periódica, você pode representá-lo como algo conhecido como um fração contínua , ou uma fração onde você calcula um número crescente de termos em seu denominador para chegar a uma aproximação cada vez mais superior (e precisa).
Há muitos exemplos de fórmulas que pode-se calcular , repetidamente, para chegar a uma boa aproximação para π, mas a vantagem dos três mostrados acima é que eles são simples, diretos e fornecem uma excelente aproximação com apenas um número relativamente pequeno de termos. Por exemplo, usando apenas os primeiros 10 termos da série final mostrado dá os primeiros 8 dígitos de π corretamente, com apenas um pequeno erro no 9º dígito. Mais termos significam uma aproximação melhor, então sinta-se à vontade para inserir quantos números quiser e veja como isso pode ser satisfatório!
Esta representação codificada por cores dos mais de 1.000 primeiros dígitos de pi mostra sequências de dígitos repetidos em várias cores, com “dígitos duplos” em amarelo, “dígitos triplos” em ciano e a sequência de um “dígito sêxtuplo” de 9s, o Feynman ponto, mostrado em vermelho.8.) Depois de 762 dígitos de π, você chega a uma sequência de seis 9s consecutivos: conhecida como Ponto de Feynman . Agora, entramos em território que requer alguns cálculos bastante profundos. Alguns se perguntam: “Que tipo de padrões existem para encontrar embutidos no número π?” Se você escrever os primeiros 1.000 dígitos, poderá encontrar alguns padrões interessantes.
- O 33º dígito de π, um “0”, é o quão longe você tem que ir para que todos os 10 dígitos, de 0 a 9, apareçam em sua expressão para π.
- Existem algumas instâncias de números “repetidos três vezes” seguidos nos primeiros 1.000 dígitos, incluindo “000” (duas vezes), “111” (duas vezes), “555” (duas vezes) e “999 ' (duas vezes).
- Mas essas duas ocorrências de repetição de “999” estão próximas uma da outra; após o 762º dígito de π, você realmente obtém seis 9s seguidos .
Por que isso é tão notável? Porque o físico Richard Feynman notou que se ele pudesse memorizar π no “Ponto de Feynman”, ele poderia recitar os primeiros 762 dígitos de π e então dizer, “nove-nove-nove-nove-nove e assim por diante… ” e isso seria extremamente satisfatório. Acontece que, embora seja possível provar que todas as combinações consecutivas de dígitos aparecem em algum lugar de π, você não encontrará uma sequência de 7 dígitos idênticos seguidos até que tenha escrito quase 2 milhões de dígitos de π!
Se você pegar o logaritmo natural (base “e”) do número 262.537.412.640.768.744 e dividi-lo pela raiz quadrada de (163), obterá uma aproximação para π que é bem-sucedida nos primeiros 31 dígitos. A razão é conhecida desde o trabalho de Charles Hermite em 1859.9.) Você pode aproximar excepcionalmente π, com precisão de 31 dígitos, dividindo dois números irracionais de aparência mundana . Uma das propriedades mais bizarras de π é que ele aparece em alguns lugares realmente inesperados. Embora a fórmula e iπ = -1 é indiscutivelmente o mais famoso, talvez um fato melhor e ainda mais bizarro seja este: se você pegar o logaritmo natural de um número inteiro de 18 dígitos específico, 262.537.412.640.768.744, e dividir esse número pela raiz quadrada do número 163, você obtém um número que é idêntico a π para os primeiros 31 dígitos.
Por que isso é assim e como conseguimos uma aproximação tão boa para π?
Acontece que em 1859, o matemático Charles Hermite descobriu que a combinação de três números irracionais (e dois transcendentais) e, π e √163 faz o que é conhecido como “ inteiro aproximado ” combinando-os da seguinte maneira: e π√ 163 é quase exatamente um número inteiro. O inteiro que quase é? 262.537.412.640.768.744; na verdade, ele “é igual a” 262.537.412.640.768.743,99999999999925…, portanto, reorganizando essa fórmula é como você obtém essa aproximação incrivelmente boa para π.
Os quatro heróis famosos do espaço/astronomia/física a seguir fazem aniversário em 14 de março: dia do Pi. Você pode dizer quem são cada um deles? (Spoilers no texto abaixo!)10.) Quatro heróis famosos da física/astronomia e do espaço da história fazem aniversário no dia π . Observe a imagem acima e você verá uma colagem de quatro rostos, mostrando pessoas de vários níveis de fama nos círculos da física/astronomia/espaço. Quem são eles?
- O primeiro é Albert Einstein , nascido em 14 de março de 1879. Conhecido por suas contribuições à relatividade, mecânica quântica, mecânica estatística e equivalência de energia-massa, Einstein também é a pessoa mais famosa por aí com um aniversário de π dias.
- Proximo é Frank Borman , nascido em 14 de março de 1928, que completa 95 anos neste dia de 2023. Ele comandou a Gemini 7 e foi o contato da NASA na Casa Branca durante o pouso lunar da Apollo 11, mas é mais conhecido por comandar a missão Apollo 8, que foi a primeira missão a levar astronautas à Lua, voar ao redor da Lua e fotografar o local da Terra “subindo” no horizonte da Lua.
- A terceira imagem é talvez a menos conhecida hoje, mas é de Giovanni Schiaparelli , nascido em 14 de março de 1835. Seu trabalho durante o século 19 nos deu os maiores mapas, de seu tempo, dos outros planetas rochosos de nosso Sistema Solar: Mercúrio, Vênus e, o mais famoso, Marte.
- E a imagem final é de Gene Cernan , nascido em 14 de março de 1934, que é (atualmente) o último e mais recente ser humano a pisar na Lua, ao reentrar no módulo lunar da Apollo 17 após o companheiro de tripulação Harrison Schmitt. Cernan morreu em 16 de janeiro de 2017 aos 82 anos.
Embora o aglomerado estelar aberto Messier 38 tenha muitos nomes, uma visão colorida das estrelas dentro dele mostra claramente um padrão diferente do que seu nome mais comum de “aglomerado de estrelas do mar” indicaria. Aqui, com um pouco de realce artificial, selecionei uma forma específica que, com ajuda, você deve ser capaz de identificar e reconhecer por conta própria.11.) E há um famoso aglomerado de estrelas que realmente se parece com um “π” no céu ! Observe a imagem acima; você pode vê-lo? Esta visão “pi”ctórica é de o aglomerado estelar aberto Messier 38 , que você pode encontrar localizando a estrela brilhante Capella, a terceira estrela mais brilhante no hemisfério celestial norte, atrás de Arcturus e Rigel, e depois movendo-se cerca de um terço do caminho de volta para Betelgeuse. Bem nesse local, antes de chegar à estrela Alnath, você encontrará a localização do aglomerado estelar Messier 38, onde um composto de cor vermelho-verde-azul revela claramente uma forma familiar.
Ao contrário dos aglomerados de estrelas mais novos e mais jovens, nenhuma das estrelas restantes em Messier 38 jamais se transformará em supernova; os sobreviventes têm massa muito baixa para isso. As estrelas mais massivas dentro do aglomerado já morreram e agora, cerca de 220 milhões de anos após a formação dessas estrelas, restam apenas as estrelas de classe A, classe F, classe G (semelhantes ao Sol) e mais frias. E notavelmente, os sobreviventes mais brilhantes e azuis fazem uma forma aproximada de π no céu. Embora existam outros quatro aglomerados estelares relativamente próximos, nenhum deles está relacionado com Messier 38, que está a 4.200 anos-luz de distância e contém centenas, talvez até milhares de estrelas. Para uma visão real de π-no-céu, basta encontrar este aglomerado de estrelas e as vistas são suas para contemplar!
Feliz dia de π para todos, e que você possa celebrá-lo de uma maneira doce e adequada!
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