álgebra booleana
álgebra booleana , sistema simbólico de lógica matemática que representa relacionamentos entre entidades - ideias ou objetos. As regras básicas deste sistema foram formuladas em 1847 por George Boole da Inglaterra e foram posteriormente refinados por outros matemáticos e aplicados à teoria dos conjuntos. Hoje, a álgebra booleana é importante para a teoria da probabilidade, geometria dos conjuntos e teoria da informação. Além disso, constitui a base para o projeto de circuitos usados em eletrônica computadores digitais .
Em uma álgebra booleana, um conjunto de elementos é fechado sob duas operações binárias comutativas que podem ser descritas por qualquer um dos vários sistemas de postulados, todos os quais podem ser deduzidos dos postulados básicos de que existe um elemento de identidade para cada operação, que cada operação é distributivo sobre o outro, e que para cada elemento no conjunto há outro elemento que se combina com o primeiro em qualquer uma das operações para produzir o elemento de identidade da outra.
A álgebra comum (na qual os elementos são os números reais e as operações binárias comutativas são a adição e a multiplicação) não satisfaz todos os requisitos de uma álgebra booleana. O conjunto de números reais é fechado nas duas operações (ou seja, a soma ou o produto de dois números reais também é um número real); elementos de identidade existem - 0 para adição e 1 para multiplicação (isto é, para + 0 = para e para × 1 = para para qualquer número real para ); e a multiplicação é distributiva sobre a adição (isto é, para × [ b + c ] = [ para × b ] + [ para × c ]); mas a adição não é distributiva sobre a multiplicação (isto é, para + [ b × c ] não é, em geral, igual a [ para + b ] × [ para + c ]).
A vantagem da álgebra booleana é que ela é válida quando os valores de verdade - ou seja, a verdade ou falsidade de uma dada proposição ou declaração lógica - são usados como variáveis em vez das quantidades numéricas empregadas pela álgebra comum. Ele se presta a manipular proposições que são verdadeiras (com valor de verdade 1) ou falsas (com valor de verdade 0). Duas dessas proposições podem ser combinadas para formar um composto proposição pelo uso dos conectivos lógicos, ou operadores, AND ou OR. (Os símbolos padrão para esses conectivos são ∧ e ∨, respectivamente.) O valor de verdade da proposição resultante depende dos valores de verdade dos componentes e do conectivo empregado. Por exemplo, as proposições para e b podem ser verdadeiros ou falsos, independentemente um do outro. O conectivo AND produz uma proposição, para ∧ b , isso é verdade quando ambos para e b são verdadeiras e falsas caso contrário.
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