Pergunte a Ethan: Octonions poderia desbloquear como a realidade realmente funciona?
Visualizar a multiplicação dos octônios unitários, dos quais existem 8, requer pensar em espaços de dimensão superior (esquerda). A tabuada de multiplicação para quaisquer dois octônios unitários também é mostrada (à direita). (YANNICK HERFRAY (L), WIKIPEDIA INGLESA (R))
Existe uma estrutura matemática fascinante que vai muito além da nossa experiência comum. Poderia revolucionar a física?
Talvez o fato mais notável sobre o Universo seja que cada partícula dentro dele – em todos os momentos, locais e sob todas as condições – obedece exatamente às mesmas leis da física. As regras que a natureza segue são as mesmas para todos, e ao encontrar a estrutura matemática que descreve essas regras, podemos descrever a natureza também. Muitas vezes, a descoberta de uma nova estrutura matemática leva ao desenvolvimento de uma nova estrutura física, e onde essa estrutura descreve com precisão o Universo, uma nova física pode ser deduzida. Uma das possibilidades matemáticas mais fascinantes para o nosso Universo envolve algo conhecido como octonions, e isso nos leva a Apoiador do Patreon A pergunta de Pedro Teixeira, que é:
Octonions, eles têm chance de ser a resposta de como nossa realidade funciona, ou apenas hype?
Vamos começar do início: com a matemática que fundamenta a física.
A lei da gravitação universal de Newton (L) e a lei de Coulomb para a eletrostática (R) têm formas quase idênticas às suas leis de força, que podem ser resolvidas para produzir equações de movimento para partículas na imagem clássica do Universo. Nenhuma matemática mais avançada do que os números reais é necessária para resolver essas equações. (DENNIS NILSSON / RJB1 / E. SIEGEL)
Se tudo o que você tivesse à sua disposição matemática fosse a ideia de números reais, você ainda poderia ir muito longe. De Galileu a Newton, de Coulomb a Maxwell, toda a física clássica é construída com base em números reais. Leis de força, equações de movimento e muito mais podem ser derivadas sem recorrer à matemática mais avançada do que o conjunto dos números reais, incluindo variáveis, constantes e funções dependentes.
Mas isso já requer um salto matemático que levou milênios para se desenvolver: o salto para incluir números negativos. Quando você joga uma bola no ar e pergunta quando ela atingirá o chão, você obtém duas respostas para o tempo: uma positiva e outra negativa. Às vezes, qualquer uma das respostas pode estar correta, mas a matemática por si só não lhe dirá qual situação se aplica. Para isso, você precisa das condições físicas do problema, e é assim que você decide qual resposta é a relevante.
Ao examinar esta imagem estroboscópica de uma bola quicando, você não pode dizer com certeza se a bola está se movendo para a direita e perdendo energia a cada quique, ou se está se movendo para a esquerda e recebendo um chute enérgico a cada quique. As leis da física são simétricas sob transformações de reversão no tempo, e as equações de movimento fornecerão duas soluções (positivas e negativas) para qualquer trajetória que você possa derivar. Somente impondo restrições físicas podemos saber qual das duas produz a resposta correta. (WIKIMEDIA COMMONS USERS MICHAELMAGGS E (EDITADO POR) RICHARD BARTZ)
No entanto, os números reais — mesmo quando você inclui números positivos e negativos — têm um limite para a complexidade de sua estrutura matemática. Por exemplo, qualquer número real, quando você o eleva ao quadrado, sempre lhe dá um número positivo, independentemente de o número real com o qual você começou ser positivo ou negativo. Se você tentar extrair a raiz quadrada de um número real, no entanto, apenas os números positivos fornecerão um resultado real. A raiz quadrada de um número negativo não é bem definida, não se nos restringirmos ao conjunto dos números reais, pelo menos.
Mas há uma nova estrutura matemática que podemos adicionar à dobra que nos dá o poder não apenas de definir a raiz quadrada de um número negativo, mas de realizar novas operações matemáticas que são impossíveis apenas com números reais. Esse avanço exigiu a introdução de um novo conjunto de números: os números imaginários e os números complexos, onde o número imaginário eu é definido como √(-1).
Em vez de se mover para frente e para trás apenas ao longo do eixo real, você pode adicionar um eixo imaginário e mover-se pelo plano complexo. A combinação de reais e imaginários forma uma estrutura matemática muito mais rica do que os reais sozinhos permitem, e produz consequências físicas interessantes que não surgem apenas da matemática real. (GUNTHER, WEREON E IASINDI / WIKIMEDIA COMMONS)
Um número real tem apenas uma parte real, definida por um número real: para . Mas os números complexos têm uma parte real e uma parte imaginária, para + b eu , Onde para é a parte real e b eu é a parte imaginária. ( b também é um número real.) Ao passar da matemática real para a matemática complexa (incluindo a matemática da teoria de grupos complexos ), um conjunto inteiramente novo de fenômenos físicos poderia emergir.
Física quântica aproveitou extraordinariamente este , observando que a ordem em que as operações quânticas foram realizadas fez uma enorme diferença. Para números reais, não importa se você multiplica 2 * 3 ou 3 * 2; você terá a mesma resposta. Da mesma forma, para números complexos, (2 + 5 eu ) * (3–4 eu ) é o mesmo que (3-4 eu ) * (2 + 5 eu ).
Múltiplos experimentos sucessivos de Stern-Gerlach, que dividem partículas quânticas ao longo de um eixo de acordo com seus spins, causarão mais divisão magnética em direções perpendiculares à medida mais recente, mas nenhuma divisão adicional na mesma direção. (FRANCESCO VERSACI DA WIKIMEDIA COMMONS)
Mas para os operadores quânticos, a ordem pode ser tremendamente importante. Se você medir o spin de uma partícula quântica no x -direção e depois na e -direção, a partícula terá propriedades fundamentalmente diferentes do que se você medir na ordem oposta. Essa propriedade — conhecida como não-comutividade — requer matemática complexa, em vez de real (em particular, espaços vetoriais complexos) para explicá-la.
O fato de que um número complexo ao quadrado pode dar um resultado negativo levou a uma solução matemática revolucionária para a equação de Dirac, prevendo a existência de estados quânticos negativos. Dirac inicialmente chamou esses estados de buracos, mas logo depois os físicos perceberam o que realmente estava acontecendo: essa foi a primeira previsão teórica da antimatéria, na forma do anti-elétron, ou pósitron. Sua confirmação experimental foi uma das descobertas mais importantes no desenvolvimento da física quântica moderna.
O chamado 'mar de Dirac' surgiu da solução da equação de Dirac, baseada em um espaço vetorial complexo, que produzia soluções de energia positiva e negativa. As soluções negativas logo foram identificadas com a antimatéria, e o pósitron (anti-elétron) em particular, e abriram um mundo totalmente novo para a física de partículas. (INCNIS MRSI / DOMÍNIO PÚBLICO)
Você pode pensar, intuitivamente, que se você pudesse encontrar uma estrutura matemática mais complicada e mais geral que estendesse os números complexos — a maneira como os números complexos estendem os reais — você poderia encontrar uma nova aplicação física. Se você tentar tirar a raiz quadrada de um número complexo, independentemente de suas partes reais e imaginárias serem positivas ou negativas, você sempre obterá um número complexo. Essa rota não o levará a uma estrutura matemática mais rica.
Mas há uma extensão inerentemente não comutativa que você pode aplicar aos números complexos: em vez de deixar i² = -1, você pode definir três entidades independentes, eu , j , e para , Onde i² = j² = k² = -1, mas onde a combinação eu * j * k = -1 também. Este conjunto quádruplo de fatores, onde em vez de um número real ( para ) ou um número complexo ( para + b eu ), você obtém o que é conhecido como quatérnio : para + b eu + c j + d para .
Este gráfico representa a multiplicação pelos valores de quatérnion i, j e k, que são representados por setas vermelhas, verdes e azuis, respectivamente. Observe como eles podem se transformar entre números reais, imaginários e os outros dois fundamentalmente quatérnios (j e k). (NIELMO / WIKIMEDIA COMMONS)
Quaternions são extremamente úteis em matemática, mas também estão relacionados a um grande número de aplicações físicas. Enquanto um número complexo representa pontos em um plano bidimensional (com um eixo real e um eixo imaginário), um quatérnion tem dimensões e graus de liberdade suficientes para descrever pontos no espaço tridimensional.
As transformações de Lorentz, que descrevem como os comprimentos se contraem e o tempo se dilata à medida que você se aproxima da velocidade da luz, usa o grupo quaternion. A Teoria Geral da Relatividade pode ser relacionada aos quatérnios na álgebra moderna. As interações fracas envolvem quatérnions, assim como as rotações espaciais tridimensionais. Certos fenômenos quânticos são revertidos se você girar seu sistema em 360 graus, mas voltará ao normal se você fizer isso novamente e percorrer 720 graus.
Quaternions são fundamentalmente não comutativos e explicam por que girar um objeto tridimensional em torno de um eixo e depois outro dá a você um estado final diferente de girar o mesmo objeto sobre os mesmos dois eixos, mas na ordem oposta.
O último celular do autor na era pré-smartphone exemplifica como as rotações no espaço 3D não comutam. À esquerda, as linhas superior e inferior começam na mesma configuração. No topo, uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário no plano da fotografia é seguida por uma rotação de 90 graus no sentido horário em torno do eixo vertical. Na parte inferior, as mesmas duas rotações são executadas, mas na ordem oposta. Isso demonstra a não comutatividade das rotações. (E. SIEGEL)
Então, você pode se perguntar, você pode estender os quatérnios ainda mais? Existe alguma outra maneira de alavancar a matemática onde há outra opção disponível para abrir uma estrutura ainda mais rica?
A resposta é sim, mas tem um custo. O próximo passo para uma estrutura matemática mais complexa é ir dos quatérnions aos octônio , que têm oito elementos cada, mas vem com um preço. Para quatérnios, a ordem de multiplicação é importante, pois Q1 * Q2 não é o mesmo que Q2 * Q1 , mas os quaternions ainda são associativos. Se você tiver três quatérnions ( Q1 , Q2 , e Q3 ), então ( Q1 * Q2 ) * Q3 = Q1 * ( Q2 * Q3 ). Mas se você tem três octônios, eles são não comutativos e não associativos; a ordem de multiplicação não só importa, mas importa de uma maneira fundamentalmente nova.
Enquanto a matemática dos quatérnions está relacionada a várias teorias físicas conhecidas, a matemática dos octonions é descritiva de operações que vão além da física conhecida, descrevendo fenômenos que aparecem em extensões como as Grandes Teorias Unificadas (GUTs) e a teoria das cordas.
Os diagramas de Feynman (topo) são baseados em partículas pontuais e suas interações. Convertê-los em seus análogos da teoria das cordas (abaixo) dá origem a superfícies que podem ter curvatura não trivial. Na teoria das cordas, todas as partículas são simplesmente diferentes modos de vibração de uma estrutura subjacente mais fundamental: as cordas. Mas os octonions, que têm fortes laços com a teoria das cordas, realmente têm um papel a desempenhar em nosso Universo? Ou é só matemática? (FIS. HOJE 68, 11, 38 (2015))
Embora as aplicações dos octonions à física sejam conjecturais, há muitas boas razões para se interessar por essas ideias. Os octonions nos ensinam, teoricamente, quantas dimensões do espaço-tempo você precisa para construir uma teoria quântica de campo supersimétrica. Eles estão ligados aos excepcionais grupos de Lie que são usados para construir GUTs e que desempenham um papel, através do grupo E(8), nas teorias das supercordas.
As quatro classes de números que acabamos de discutir – os números reais, os números complexos, os quatérnions e os octonions – são especiais no campo matemático da álgebra abstrata . Essas quatro classes são as únicas álgebras em que você sempre pode dividir um número por qualquer número diferente de zero e não obter uma quantidade indefinida, tornando-as as únicas álgebras de divisão normalizadas que existem.
Se você tentar estender os octonions para formar uma álgebra de 16 elementos, chegará ao sedimentos , que obedecem às suas próprias regras de multiplicação não comutativas e não associativas, mas falha se você tentar incorporar a divisão .
As regras de multiplicação para os sedenions, a álgebra de 16 elementos que estende os octonions de 8 elementos, funciona de acordo com regras matemáticas não comutativas e não associativas, o que não representa um problema. Mas não há álgebra de divisão normalizada para os sedenions, e é por isso que não estendemos os octonions mais longe quando procuramos aplicações físicas. (WIKIPÉDIA EM INGLÊS)
Os próprios octonions nunca serão a resposta de como a realidade funciona, mas fornecem uma estrutura matemática poderosa e generalizada que tem suas próprias propriedades únicas. Ele inclui matemática real, complexa e quaternion, mas também apresenta propriedades matemáticas fundamentalmente únicas que podem ser aplicadas à física para fazer previsões novas - mas especulativas e até agora sem suporte.
Os octonions podem nos dar uma ideia de quais possibilidades podem ser atraentes em termos de extensões da física conhecida e quais podem ser menos interessantes, mas não há observáveis concretos previstos pelos próprios octonions. Pierre Ramond, meu ex-professor que me ensinou sobre octonions e grupos de Lie em física, gostava de dizer que os octonions são para a física o que as sereias foram para Ulisses. Eles definitivamente têm um fascínio, mas se você mergulhar, eles podem arrastá-lo para um destino hipnótico e inevitável.
Sua estrutura matemática contém uma riqueza incrível, mas ninguém sabe se essa riqueza significa alguma coisa para o nosso Universo ou não.
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Começa com um estrondo é agora na Forbes , e republicado no Medium com um atraso de 7 dias. Ethan é autor de dois livros, Além da Galáxia , e Treknology: A ciência de Star Trek de Tricorders a Warp Drive .
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