Começa Com Um Estrondo

Desvio de fim de semana: a matemática da Powerball

Crédito da imagem: Aaron Pero da KRON4, via http://kron4.com/2015/02/08/powerball-jackpot-grows-to-450-million/.

É o jogo de loteria mais rico dos EUA. Quando vale a pena jogar?

Eu fiz o cálculo e suas chances de ganhar na loteria são idênticas, quer você jogue ou não. – Fran Lebowitz

A ideia de uma loteria é sinônimo do modelo de baixo risco/alta recompensa para o qual os humanos são naturalmente atraídos. Muitos de nós aqui sonhamos com o que qualquer um de nós faria - como Autocaravana Beethoven canta — se finalmente pudéssemos terminar a frase que começa, Quando eu ganho na loteria .

Se você perder - o que você quase certamente vai - você está apenas com alguns dólares. Mas se você vencer, por mais improváveis que sejam suas chances, de repente todos os seus sonhos mais loucos podem se tornar realidade.

Crédito da imagem: Lowe GGK Viena (Áustria), via http://www.joelapompe.net/2010/12/11/before-after-lotto-ggk-lowe-contexta/ .

Na semana passada, o jackpot da loteria Powerball passou $ 500.000.000 , uma das maiores somas da história, onde o jackpot de US$ 564,1 milhões acabou sendo dividido por três vencedores . Para ganhar, você precisa combinar cinco normal números de loteria — bolas brancas numeradas de 1 a 59 — mais a Powerball: uma bola vermelha numerada de 1 a 35. Cada bilhete Powerball custa $ 2, mais você tem a opção de pagar $ 1 extra para ativar o jogo de poder , um multiplicador que aumenta seu pagamento para prêmios que não são do jackpot.

Crédito da imagem: Getty Images, via http://communitytable.com/62919/viannguyen/16-new-jersey-garage-workers-hold-winning-448-million-powerball-ticket/ .

É claro que, se você ganhar, concluirá que valeu a pena, mesmo que o pagamento tenha sido pequeno, enquanto se perder, provavelmente concluirá que valeu a pena. não era Vale a pena. (Até o próximo desenho, claro, quando você tiver outra chance!)

Mas o que a matemática tem a dizer sobre isso? Em particular:

Quais são suas chances de ganhar cada combinação individual?
Quanto paga cada possibilidade vencedora?
Vale a pena ativar o jogo de poder opção?
E, finalmente, quão grande deve ser o jackpot para jogar na loteria Powerball valer a pena?

Crédito da imagem: JOHN AMIS/AP, via http://www.toledoblade.com/Nation/2008/02/25/Georgia-couple-claims-275-million-lottery-jackpot.html .

Quando voce diz Vale a pena , aliás, tem um significado muito específico quando se trata de matemática. Isso significa que a quantia que você pode esperar ganhar, na média , é maior do que o valor que você tem que apostar para jogar. Se um bilhete de loteria custa $ 1, por exemplo, seria Vale a pena E se:

Você tinha 51% de chance de ganhar $ 2.
Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 1.001.
Ou, você tinha uma chance de 1 em 499.999 de ganhar $ 500.000.

Enquanto não seria Vale a pena E se:

Você tinha 49% de chance de ganhar $ 2.
Ou você tinha 0,1% de chance de ganhar $ 999.
Ou você tinha uma chance de 1 em 500.001 de ganhar $ 500.000.

Observe como essas diferenças são pequenas, mas como nos casos anteriores, você pode esperar ganhar mais do que apostou, enquanto nos últimos casos, você espera apostar mais do que ganha, pelo menos na média . Os matemáticos chamam essa proporção de quanto você ganha versus quanto você aposta de valor esperado de um problema. Se o seu valor esperado for maior que 1,0, vale a pena jogar.

Crédito das imagens: Bruce Simmons of Mathwords (L), via http://www.mathwords.com/e/expected_value.htm ; usuário do Wikimedia Commons NYKevin (R), para o valor esperado de um dado de 6 faces.

Então, o que isso significa para a Powerball? Em cada jogo da Powerball, você recebe um bilhete com cinco números brancos (de 59 opções possíveis) e um número vermelho (o Powerball, de 35).

Vamos ao primeiro ponto sobre o qual perguntamos: quais são suas chances de ganhar, com cada combinação individual destacada? Aqui está um infográfico que fiz que o detalha.

Crédito da imagem: eu. As diferenças (muito pequenas) entre essas probabilidades e as probabilidades oficiais da Powerball devem-se ao arredondamento.

Suas chances de realmente ganhando o jackpot da Powerball é bem pequeno: um em 175.223.510. Na verdade, suas chances de ganhar nada também não são muito bons, pois o três resultados mais comuns:

nenhuma correspondência de qualquer tipo (61,37%),
uma bola branca e nenhuma bola de força (30,68%), e
duas bolas brancas e nenhuma bola de força (4,81%),

todos pagam absolutamente nada , e somam 96,86% dos resultados possíveis.

Mas isso significa que, 3,14% das vezes, você vontade ganhar algo. E se – em média – pagar o suficiente, valerá a pena apostar.

Crédito da imagem: captura de tela do site oficial da Powerball, em http://www.powerball.com/powerball/pb_prizes.asp .

Então, se essas são as possibilidades de pagamento, o que isso significa em termos de valor esperado ? Em outras palavras, cada vez que você joga na loteria, você tem uma pequena chance de ganhar um determinado prêmio, e se você multiplicar seus ganhos esperados por suas chances de ganhar cada opção , você obtém o valor esperado para cada opção. (E lembre-se, o custo de um bilhete para a Powerball é de $ 2,00.)

Vamos resolver isso!

Crédito da imagem: eu. Observe que o asterisco significa que o Jackpot precisa de alguma explicação.

Voltaremos ao Jackpot daqui a pouco, porque é um pouco mais complicado. Mas vamos dar uma olhada em todas as outras opções - mais prováveis, mas não Jackpot - primeiro.

Para cada bilhete de US $ 2 que você compra, você pode esperar recuperar, em média:

cerca de US$ 0,11 dos pagamentos periódicos de US$ 4,
cerca de US$ 0,03 dos pagamentos periódicos de US$ 7,
cerca de US$ 0,01 dos pagamentos periódicos de US$ 100,
cerca de US$ 0,02 dos pagamentos periódicos de US$ 10.000, e
cerca de US$ 0,19 dos pagamentos periódicos de US$ 1.000.000.

Ao todo, as opções sem jackpot fazem com que cada bilhete valha cerca de US$ 0,36 ou, se estivermos sendo um pouco mais precisos, US$ 0,36049.

Isso nos ensina duas coisas:

Dá-nos as informações que precisamos para descobrir quanto vale a opção Power Play.
Ele nos informa quanto o Jackpot precisa pagar para que a compra de um bilhete da Powerball valha a pena, matematicamente.

Primeiro, o jogo de poder.

Crédito das imagens: screenshots e cabeçalhos do site oficial da Powerball, em http://www.powerball.com/powerball/pb_prizes.asp .

A opção Power Play – que custa US$ 1,00 a mais, transformando um ingresso de US$ 2 em um ingresso de US$ 3 – faz o seguinte:

não tem efeito sobre o Jackpot/Grande Prêmio,
sempre duplos o pagamento do segundo prêmio mais lucrativo, e
tem uma chance de 1 em 2 de dobrar os outros prêmios, uma chance de 1 em 3,33 de triplicá-los e uma chance de 1 em 10 de quadruplicar ou quintuplicar.

Então, qual é o retorno extra esperado para esse investimento extra de $ 1?

Crédito da imagem: eu.

Leva as opções sem jackpot, na média , de $ 0,36049 até $ 0,85414. Isso significa que você está gastando US$ 1,00 extra para aumentar seu pagamento esperado em US$ 0,49, um péssimo negócio de qualquer forma que você o faça. Na verdade, ainda que você acertou a opção 5x, que acontece apenas 10% das vezes, você só aumenta seus ganhos esperados para $ 1,22 para as opções sem jackpot, o que aumenta seus ganhos em apenas $ 0,86: ainda menos de $ 1. O fato de o segundo maior pagamento ser apenas o dobro, não importa qual seja o multiplicador do Power Play, torna isso um negócio bruto de qualquer maneira que você o corte.

Em outras palavras, você nunca deve tomar o Power Play opção.

Então, finalmente, chegamos ao grande prêmio: o Jackpot, ou o Grande Prêmio, que você ganha ao acertar todos os cinco números mais a Powerball, algo que tem uma chance em 175.223.510 de acontecer.

Crédito da imagem: WGNO Tampa / ABC News, via http://wgno.com/2013/05/20/ticket-sold-in-florida-wins-record-powerball-jackpot/ .

Você pensaria, talvez, que se um bilhete da Powerball custa US$ 2 e você tem um valor esperado de US$ 0,36049 do restante do bilhete, desde que seu valor esperado seja de US$ 1,63952 ou mais do Grande Prêmio Powerball, você virá à frente, e você deve jogar.

Essa lógica é boa, a propósito: você está certo! Se o seu bilhete valer mais de $ 2 no total, claro você deve gastar US $ 2 nele.

Mas você pode dar o próximo passo e dizer que, como minhas chances de ganhar o Jackpot são de 1 em 175.223.510, tudo o que preciso fazer é descobrir qual pagamento corresponde a esse valor esperado e, se o Jackpot for maior que isso, Eu vou jogar. Encontrar esse valor não é tão difícil: são US$ 143.641.224. Mas se você jogar na loteria quando o Jackpot for desse tamanho, você sairá atras do , ainda, por dois motivos.

Crédito da imagem: Goodman Realty, via http://goodmanrealtyproperties.com/the-property-taxman-cometh-we-can-help .

Um desses motivos é impostos . Isso mesmo: você não consegue manter 100% de seus ganhos, embora você está responsável por 100% dos custos das passagens. O jackpot anunciado é quanto você ganharia, para -impostos, se você adiou os pagamentos por um longo período de tempo.

Se, em vez disso, você recebeu um pagamento único (que é drasticamente reduzido para cerca de 63% do valor anunciado), e então pagou impostos (estaduais e federais) sobre isso, você descobriria algo chocante: você só consegue manter 37,2% do valor do Grande Prêmio! (Depende dos impostos do seu estado, que são estimados em cerca de 6%.) Na verdade, os impostos estaduais e federais seriam um grande negócio para o de outros , prêmios menores sobre os quais falamos anteriormente, o que reduziria o prêmio de $ 1.000.000 para apenas cerca de $ 590.000 e reduziria o valor dos outros pagamentos de um total de $ 0,36 para cerca de $ 0,26, um negócio muito pior.

Para atingir o ponto de equilíbrio e ter um bilhete de US$ 2 na verdade valendo US$ 2 quando você inclui os impostos, você precisaria que o Jackpot chegasse a um valor colossal US$ 820 milhões , mais do que o maior Powerball Jackpot da história.

Mas mesmo isso faz uma suposição: que se você ganhar, isso seu bilhete premiado será a única bilhete premiado, o que contraria os factos.

Porque, como você bem sabe, as pessoas são muito mais propensas a Comprar bilhetes de loteria quando o Jackpot é enorme. Embora você possa pensar que isso não significaria muito com probabilidades incrivelmente longas, uma vez que você começa a vender mais de 70 milhões de ingressos, as chances de mais de uma pessoa ganhar o jackpot aumentam extremamente rapidamente.

Crédito da imagem: Jeremy Elson, via http://www.circlemud.org/jelson/megamillions/ .

Com base em vários Jackpots que vimos, uma vez que o Jackpot anunciado ultrapassa cerca de US$ 300 milhões, as vendas de ingressos aumentam exponencialmente, com os maiores jackpots resultando em centenas de milhões de ingressos vendidos.

O problema é que nem todo mundo recebe um conjunto único de números: muitos bilhetes compartilham os mesmos números, de modo que, se você chegar a, digamos, um Jackpot anunciado de cerca de US$ 500 milhões, você esperaria vender cerca de 190 milhões de bilhetes para o sorteio. . Mesmo que as chances de qualquer bilhete individual acertar o Jackpot sejam de 1 em 175.223.510, as chances que apenas 1 pessoa vai ganhar esse Jackpot é muito menor do que você imagina: cerca de 37%. Haveria 34% de chance de que ninguém ganharia o Jackpot e uma chance de 29% de que duas ou mais pessoas ganhassem.

O que é louco - e pouco intuitivo - é que, à medida que o Jackpot aumenta cada vez mais, porque mais e mais bilhetes são vendidos, o menos valioso cada bilhete se torna! Um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 1.500 milhões, na verdade, valeria apenas cerca de metade tanto quanto um bilhete vendido por um Jackpot de US$ 500 milhões, porque você provavelmente teria que dividir o Jackpot, mesmo se ganhasse, com entre seis e dez outras pessoas.

Crédito da imagem: Jeremy Elson, via http://www.circlemud.org/jelson/megamillions/ .

Quando você pega os dois impostos e dividir jackpots em conta, você descobre que, mesmo em seu valor máximo, um bilhete Powerball de US$ 2 vale apenas cerca de US$ 0,852, ou apenas 43% do que você pagou por ele.

Há muito se diz que os bilhetes de loteria são um imposto para quem não sabe fazer contas, e agora você viu a prova matemática disso. Ainda assim, o fascínio dos grandes Jackpots certamente fará com que as pessoas voltem, mas espero que agora você saiba melhor. Espalhe a palavra!

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